Seja W=\langle(2,0,0),(0,2,2),(2,-2,-2)\rangle um subespaço de \mathbb{R}^{3} e considere o produto interno usual.
(a) (1.0 \mathrm{pt}) Determine uma base ortonormal para W.
(b) ( 1.0 pt ) Determine o subespaço W^{\perp}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W=\langle(2,0,0),(0,2,2),(2,-2,-2)\rangle\subset\mathbb R^3
com o produto interno usual. Preciso (a) encontrar uma base ortonormal de W (Gram–Schmidt) e (b) determinar
W^\perp=\{\,x\in\mathbb R^3\mid\langle x,w\rangle=0\\ \forall w\in W\}.

Passo 2

Primeiro note que (2,-2,-2)=(2,0,0)-(0,2,2), então
W=\mathrm{span}\{v_1,v_2\},\quad v_1=(2,0,0),\\ v_2=(0,2,2).
Aplicamos Gram–Schmidt em \{v_1,v_2\}. Defina
w_1=v_1,\quad w_2=v_2-\frac{\langle v_2,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle}\,w_1.
Como \langle v_2,v_1\rangle=0 e \langle v_1,v_1\rangle=4, vem w_2=v_2.

Passo 3

Agora normalizamos:
\|w_1\|=\sqrt{4}=2,\quad e_1=\frac{w_1}{2}=(1,0,0),
\|w_2\|=\sqrt{0+4+4}=2\sqrt2,\quad e_2=\frac{w_2}{2\sqrt2}=\Bigl(0,\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\Bigr).
Logo
\{\,e_1,e_2\}=\Bigl\{(1,0,0),\,(0,\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2})\Bigr\}
é uma base ortonormal de W.

Passo 4

Para achar W^\perp, seja x=(x,y,z) tal que \langle x,v_1\rangle=2x=0 e \langle x,v_2\rangle=2y+2z=0.
Desses vem x=0 e y+z=0, isto é z=-y. Portanto
W^\perp=\{(0,y,-y)\mid y\in\mathbb R\} =\mathrm{span}\{(0,1,-1)\}.

Resposta

(a) Uma base ortonormal de W é
\Bigl\{(1,0,0),\,(0,\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2})\Bigr\}.
(b)
W^\perp=\mathrm{span}\{(0,1,-1)\}.

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