Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
(1.0 pt) ( ) A função
dada por
define um produto interno em
.
(1.0 pt) ( ) A função
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
e pergunta se isso é um produto interno. Para ser produto interno numa espaço real, a forma bilinear deve satisfazer:
- simetria:
, - bilinearidade (linear em cada argumento),
- positividade definida:
e só se .
Passo 2
Verificamos simetria e bilinearidade:
- Simetria:
- Bilinearidade: é produto de
por multiplicado por constante, logo é linear em cada componente e independe de . Assim, satisfaz linearidade nos dois argumentos.
Passo 3
Agora a positividade definida: para
temos
Porém, se
e
, então
mas
. Isso viola a condição de definitude (só o vetor zero deve ter produto interno zero consigo mesmo).
Resposta
A afirmação é falsa.