Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
(1.0 pt) ( ) A função \langle\cdot, \cdot\rangle: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por \left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=3 y_{1} y_{2} define um produto interno em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^2 a aplicação
\langle (x_1,y_1),(x_2,y_2)\rangle = 3\,y_1\,y_2
e pergunta se isso é um produto interno. Para ser produto interno numa espaço real, a forma bilinear deve satisfazer:
  1. simetria: \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle,
  2. bilinearidade (linear em cada argumento),
  3. positividade definida: \langle v,v\rangle\ge0 e \langle v,v\rangle=0 só se v=0.

Passo 2

Verificamos simetria e bilinearidade:
  • Simetria:
\langle(x_1,y_1),(x_2,y_2)\rangle =3y_1y_2 =3y_2y_1 =\langle(x_2,y_2),(x_1,y_1)\rangle.
  • Bilinearidade: é produto de y_1 por y_2 multiplicado por constante, logo é linear em cada componente y_i e independe de x_i. Assim, satisfaz linearidade nos dois argumentos.

Passo 3

Agora a positividade definida: para v=(x,y) temos
\langle v,v\rangle = 3\,y^2 \ge 0.
Porém, se y=0 e x\neq0, então v\neq0 mas \langle v,v\rangle=0. Isso viola a condição de definitude (só o vetor zero deve ter produto interno zero consigo mesmo).

Resposta

A afirmação é falsa.

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