A matriz A=\left(\begin{array}{cccccc}3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 6 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) está na forma canônica de Jordan. Determine:
(a) (1.0 pt) os polinômios característico e mínimo de A.
(b) (1.0 pt ) a multiplicidade geométrica e o índice de cada autovalor.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A já na forma canônica de Jordan de ordem 6 e pede (a) os polinômios característico e mínimo e (b) a multiplicidade geométrica e o índice de cada autovalor. Para isso precisamos identificar os autovalores, suas multiplicidades algébricas e os tamanhos dos blocos de Jordan correspondentes.

Passo 2

Da forma de Jordan de
A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 6 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
vemos os seguintes autovalores e blocos:
\lambda=3 aparece em dois blocos 1\times1.
\lambda=6 aparece em um bloco 2\times2 e em outro 1\times1, totalizando multiplicidade algébrica 3.
\lambda=0 aparece em um bloco 1\times1.

Passo 3

O polinômio característico é o produto de (\lambda-\text{autovalor}) elevado à multiplicidade algébrica de cada um. Logo
\chi_A(\lambda) =(\lambda-3)^{2}\,(\lambda-6)^{3}\,(\lambda-0) =\lambda\,(\lambda-3)^{2}\,(\lambda-6)^{3}.

Passo 4

O polinômio mínimo tem expoente igual ao tamanho do maior bloco de Jordan de cada autovalor. Como para \lambda=3 todos os blocos são 1\times1, o expoente é 1; para \lambda=6 o maior bloco é 2\times2, o expoente é 2; para \lambda=0 é 1. Assim
m_A(\lambda) =\lambda^{1}\,(\lambda-3)^{1}\,(\lambda-6)^{2} =\lambda\,(\lambda-3)\,(\lambda-6)^{2}.

Passo 5

A multiplicidade geométrica de um autovalor é o número de blocos de Jordan associados a ele, e o índice é o tamanho do maior bloco:
– Para \lambda=3: há 2 blocos 1\times1, então multiplicidade geométrica =2 e índice =1.
– Para \lambda=6: há 2 blocos (um de tamanho 2 e outro de tamanho 1), então multiplicidade geométrica =2 e índice =2.
– Para \lambda=0: há 1 bloco 1\times1, então multiplicidade geométrica =1 e índice =1.

Resposta

(a)
\chi_A(\lambda)=\lambda\,(\lambda-3)^{2}\,(\lambda-6)^{3},
m_A(\lambda)=\lambda\,(\lambda-3)\,(\lambda-6)^{2}.
(b)
Para \lambda=3: multiplicidade geométrica 2, índice 1.
Para \lambda=6: multiplicidade geométrica 2, índice 2.
Para \lambda=0: multiplicidade geométrica 1, índice 1.

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