Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear, tal que 2 e 3 são os autovalores de T, com os respectivos autoespaços S_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+z=0\right\} e S_{3}=\{(0, t, t): t \in \mathbb{R}\}.
(a) ( 1.0 pt ) Determine uma base de cada autoespaço.
(b) (1.0 pt) T é diagonalizável? Em caso afirmativo, encontre uma base \beta de \mathbb{R}^{3}, tal que [T]_{\beta} seja diagonal.
(c) (1.0 pt) Descreva T(x, y, z) em coordenadas.
Passo 1
O enunciado diz que T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é linear, com autovalores 2 e 3. O autoespaço de 2 é
S_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x+z=0\},
e o de 3 é
S_{3}=\{(0,t,t):t\in\mathbb{R}\}.
Precisamos (a) achar uma base de cada autoespaço, (b) ver se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, dar uma base \beta que diagonalize T, e (c) obter uma fórmula fechada para T(x,y,z).
Passo 2
Para S_{2} temos a condição x+z=0\Longrightarrow z=-x. Escrevendo
(x,y,z)=(x,y,-x)=x\,(1,0,-1)+y\,(0,1,0),
vemos que uma base de S_{2} é, por exemplo,
\{(1,0,-1),\,(0,1,0)\}.
Passo 3
Para S_{3} todo vetor é da forma (0,t,t)=t\,(0,1,1). Logo uma base de S_{3} é
\{(0,1,1)\}.
Passo 4
Como \dim S_{2}=2 e \dim S_{3}=1, a soma direta dos autoespaços tem dimensão 3, igual a \dim\mathbb{R}^3. Logo T é diagonalizável. Tomando como base de autovetores
Para achar T(x,y,z) escrevemos (x,y,z)=a\,v_1+b\,v_2+c\,v_3. Das componentes
(x,y,z)=(a,\;b+c,\;-a+c)
vem a=x, c=z+x, b=(y)-\text{(c)}=y-z-x. Como T(v_1)=2v_1, T(v_2)=2v_2, T(v_3)=3v_3, segue
T(x,y,z)=2a\,v_1+2b\,v_2+3c\,v_3.
Calculando coordenada a coordenada, obtemos
T(x,y,z)=\bigl(2x,\;2y+x+z,\;x+3z\bigr).
Resposta
(a) Base de S_{2}: \{(1,0,-1),\,(0,1,0)\}.
Base de S_{3}: \{(0,1,1)\}.
(b) Sim, T é diagonalizável. Uma base que o diagonaliza é \beta=\{(1,0,-1),(0,1,0),(0,1,1)\}
e