Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear definida por T(x, y)=(x+2 y,-x, 0).
a) Ache a matriz associada a T relativa às bases \alpha=\{(1,3),(-2,4)\} e \beta=\{(1,1,1),(2,2,0),(3,0,0)\}.
b) Use a matriz para calcular [T(v)]_{\beta} onde [v]_{\alpha}=\binom{-1}{2}.
e pede (a) a matriz de T relativa à base \alpha=\{u_1=(1,3),\,u_2=(-2,4)\} do domínio e à base \beta=\{w_1=(1,1,1),\,w_2=(2,2,0),\,w_3=(3,0,0)\} do contradomínio; (b) usar essa matriz para calcular [T(v)]_{\beta} sabendo que [v]_{\alpha}=(-1,2)^{T}.
Para achar a matriz, vamos:
Calcular T(u_1) e T(u_2).
Expressar cada T(u_j) como combinação linear de w_1,w_2,w_3, encontrando os coeficientes que formam as colunas da matriz.
Montar a matriz e, em seguida, multiplicá-la pelo vetor de coordenadas [v]_{\alpha}.
Passo 2
Calcular T(u_1) e achar seus coeficientes em \beta.
Da terceira componente vem c_1=0.
Da segunda: 0+2c_2=-1\implies c_2=-\tfrac12.
Da primeira: 0+2(-\tfrac12)+3c_3=7\implies -1+3c_3=7\implies c_3=\tfrac{8}{3}.
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