Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear definida por T(x, y)=(x+2 y,-x, 0).
a) Ache a matriz associada a T relativa às bases \alpha=\{(1,3),(-2,4)\} e \beta=\{(1,1,1),(2,2,0),(3,0,0)\}.
b) Use a matriz para calcular [T(v)]_{\beta} onde [v]_{\alpha}=\binom{-1}{2}.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y)=(x+2y,\,-x,\,0)
e pede (a) a matriz de T relativa à base \alpha=\{u_1=(1,3),\,u_2=(-2,4)\} do domínio e à base \beta=\{w_1=(1,1,1),\,w_2=(2,2,0),\,w_3=(3,0,0)\} do contradomínio; (b) usar essa matriz para calcular [T(v)]_{\beta} sabendo que [v]_{\alpha}=(-1,2)^{T}.
Para achar a matriz, vamos:
  1. Calcular T(u_1) e T(u_2).
  2. Expressar cada T(u_j) como combinação linear de w_1,w_2,w_3, encontrando os coeficientes que formam as colunas da matriz.
  3. Montar a matriz e, em seguida, multiplicá-la pelo vetor de coordenadas [v]_{\alpha}.

Passo 2

Calcular T(u_1) e achar seus coeficientes em \beta.
u_1=(1,3)\implies T(u_1)=(1+2\cdot3,\,-1,\,0)=(7,-1,0).
Buscamos c_1,c_2,c_3 tais que
c_1w_1+c_2w_2+c_3w_3 =(c_1+2c_2+3c_3,\;c_1+2c_2,\;c_1) \stackrel!= (7,-1,0).
Da terceira componente vem c_1=0.
Da segunda: 0+2c_2=-1\implies c_2=-\tfrac12.
Da primeira: 0+2(-\tfrac12)+3c_3=7\implies -1+3c_3=7\implies c_3=\tfrac{8}{3}.
Logo
[T(u_1)]_{\beta} =\begin{pmatrix}0\\\ -\tfrac12\\tfrac{8}{3}\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular T(u_2) e achar seus coeficientes em \beta.
u_2=(-2,4)\implies T(u_2)=(-2+2\cdot4,\,-(-2),\,0)=(6,2,0).
Queremos d_1,d_2,d_3 com
d_1w_1+d_2w_2+d_3w_3 =(d_1+2d_2+3d_3,\;d_1+2d_2,\;d_1) \stackrel!= (6,2,0).
Da terceira componente: d_1=0.
Da segunda: 0+2d_2=2\implies d_2=1.
Da primeira: 0+2\cdot1+3d_3=6\implies 2+3d_3=6\implies d_3=\tfrac{4}{3}.
Logo
[T(u_2)]_{\beta} =\begin{pmatrix}0\\\ 1\\tfrac{4}{3}\end{pmatrix}.

Passo 4

Montar a matriz de T relativa a \alpha,\beta. As colunas são [T(u_1)]_{\beta} e [T(u_2)]_{\beta}:
[T]_{\beta\alpha} =\begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ -\tfrac{1}{2} & 1\\\ \tfrac{8}{3} & \tfrac{4}{3} \end{pmatrix}.

Passo 5

Para obter [T(v)]_{\beta}, multiplicamos [T]_{\beta\alpha} por [v]_{\alpha}=(-1,2)^{T}:
[T(v)]_{\beta} =\begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ -\tfrac{1}{2} & 1\\\ \tfrac{8}{3} & \tfrac{4}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\\\ -\tfrac{1}{2}\cdot(-1)+1\cdot2\\\ \tfrac{8}{3}\cdot(-1)+\tfrac{4}{3}\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\\ \tfrac{1}{2}+2\\\\ -\tfrac{8}{3}+\tfrac{8}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\\ \tfrac{5}{2}\\\\ 0 \end{pmatrix}.

Resposta

(a)
[T]_{\beta\alpha} =\begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ -\tfrac{1}{2} & 1\\\ \tfrac{8}{3} & \tfrac{4}{3} \end{pmatrix}.
(b)
[T(v)]_{\beta} =\begin{pmatrix} 0\\[6pt] \tfrac{5}{2}\\[6pt] 0 \end{pmatrix}.]

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