Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
Se lim x 0 f(x, x)=1 e lim x 0 f(x, 2 x)=2 então lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e 1 <= lim (x, y) (0,0) f(x, y) <= 2.

Passo 1

O enunciado nos dá dois limites de f(x,y) ao longo de duas trajetórias: y=x e y=2x, e pergunta se a partir disso podemos concluir que existe lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) e que 1 ≤ esse limite ≤ 2.

Passo 2

Para testar a existência do limite de uma função de duas variáveis em um ponto, usamos o teste de trajetórias: se encontrarmos duas trajetórias que conduzam a valores diferentes, o limite não existe.

Passo 3

Pela trajetória y=x temos lim_{x→0} f(x,x)=1, e pela trajetória y=2x temos lim_{x→0} f(x,2x)=2. Como 1≠2, o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.

Passo 4

Logo, a afirmação “então lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) existe e 1 ≤ lim ≤ 2” é falsa.

Resposta

Falsa

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