Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(a) Pelo teorema de Clairaut, não existe função de classe
que satisfaça
e
.
(a) Pelo teorema de Clairaut, não existe função de classe
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que classificar se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação diz:
“Pelo teorema de Clairaut, não existe função de classe
que satisfaça
e
.”
Aqui, estamos trabalhando com derivadas parciais e o teorema de Clairaut, que faz parte do cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma função de classe
. Isso quer dizer que a função
tem derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas.
Agora, o teorema de Clairaut, também conhecido como teorema da igualdade das derivadas mistas, nos diz que se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então
. Ou seja, a ordem de diferenciação não altera o resultado.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas mistas com base nas informações dadas.
Dada
, vamos derivar em relação a
para encontrar
:
Agora, dada
, vamos derivar em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Agora, segundo o teorema de Clairaut, para que exista uma função
de classe
que satisfaça essas derivadas, precisamos que
.
Mas vimos que
e
. Como 5 não é igual a 3, isso viola o teorema de Clairaut.
Resposta
Verdadeira.