Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(a) Pelo teorema de Clairaut, não existe função de classe C^2 que satisfaça fx(x, y)=3 x+5 y e fy(x, y)=3 x+5 y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que classificar se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação diz:
“Pelo teorema de Clairaut, não existe função de classe C^2 que satisfaça fx(x, y) = 3x + 5y e fy(x, y) = 3x + 5y .”
Aqui, estamos trabalhando com derivadas parciais e o teorema de Clairaut, que faz parte do cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma função de classe C^2 . Isso quer dizer que a função f tem derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas.
Agora, o teorema de Clairaut, também conhecido como teorema da igualdade das derivadas mistas, nos diz que se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então fxy = fyx . Ou seja, a ordem de diferenciação não altera o resultado.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas mistas com base nas informações dadas.
Dada fx(x, y) = 3x + 5y , vamos derivar em relação a y para encontrar fxy :
fxy = partialpartial y(3x + 5y) = 5
Agora, dada fy(x, y) = 3x + 5y , vamos derivar em relação a x para encontrar fyx :
fyx = partialpartial x(3x + 5y) = 3

Passo 4

Agora, segundo o teorema de Clairaut, para que exista uma função f de classe C^2 que satisfaça essas derivadas, precisamos que fxy = fyx .
Mas vimos que fxy = 5 e fyx = 3 . Como 5 não é igual a 3, isso viola o teorema de Clairaut.

Resposta

Verdadeira.

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