Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique suas respostas.
Se A in M6 times 4, B in Mm times n e B^T A^T in M2 times 6, então m=4 e n=2.

Passo 1

O enunciado diz que
Ain M6times4,
Bin Mmtimes n
e que o produto
B^TA^T
pertence a M2times6.
Queremos saber se disso decorre m=4 e n=2. Vamos usar a regra de dimensão de produto de matrizes: se Xin Mptimes q e Yin Mrtimes s, então XY só existe se q=r e, nesse caso, XYin Mptimes s.

Passo 2

Identificamos as dimensões de B^T e A^T:
  • B é mtimes n, logo B^T é ntimes m.
  • A é 6times4, logo A^T é 4times6.
Para que B^TA^T exista, precisamos que o número de colunas de B^T (que é m) seja igual ao número de linhas de A^T (que é 4). Assim concluímos
m = 4

Passo 3

Sabendo que o produto existe, sua dimensão será “número de linhas de B^T” por “número de colunas de A^T”, isto é, ntimes6. Mas o enunciado afirma que
B^TA^Tin M2times6
Logo deve valer
n = 2

Resposta

V
A afirmação é verdadeira, pois das condições de existência e dimensão do produto B^TA^T seguem-se m=4 e n=2.

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