Seja (R^3,+, cdot) o espaço vetorial sobre R, com as operações usuais. E
& U1=(a, b, c) in R^3: a+b+c=0 & U2=(a, b, c) in R^3: a=c & U3=(0,0, c) in R^3: c in R
subconjuntos de R^3:
Quem é: U1+U2 ; U1+U3 e U2+U3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre espaços vetoriais dentro de R^3 e nos pede para encontrar a soma de alguns subconjuntos específicos. O conteúdo principal aqui é espaços vetoriais e a operação de soma de subespaços. Para resolver, vamos precisar entender o que são esses subespaços U1, U2 e U3, e como somá-los entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a soma de dois subespaços. A soma de U e V, denotada por U + V, é o conjunto de todos os vetores que podem ser formados somando um vetor de U com um vetor de V.
Matematicamente:
U + V = u + v mid u in U, v in V

Passo 3

Vamos começar encontrando U1 + U2.
  • U1 é o conjunto de vetores (a, b, c) onde a + b + c = 0.
  • U2 é o conjunto de vetores (a, b, c) onde a = c.
Para somar um vetor de U1 com um de U2, temos:
Seja u = (a, b, c) com a + b + c = 0 e v = (d, e, f) com d = f.
Então:
u + v = (a + d, b + e, c + f)
Como d = f, podemos reescrever:
u + v = (a + d, b + e, c + d)
Como a + b + c = 0, substituímos c = -a - b:
u + v = (a + d, b + e, -a - b + d)
Esse vetor pode representar qualquer vetor em R^3, o que significa que U1 + U2 = R^3.

Passo 4

Agora, vamos para U1 + U3.
  • U3 é o conjunto de vetores (0, 0, c).
Somando um vetor de U1 com um de U3:
Seja u = (a, b, c) com a + b + c = 0 e v = (0, 0, d).
Então:
u + v = (a, b, c + d)
Como a + b + c = 0, substituímos c = -a - b:
u + v = (a, b, -a - b + d)
Esse conjunto ainda satisfaz a + b + ( -a - b + d ) = d. Portanto, a soma U1 + U3 não altera a estrutura de U1, já que podemos escolher d para compensar. Assim, U1 + U3 = U1.

Passo 5

Por fim, vamos determinar U2 + U3.
Somando um vetor de U2 com um de U3:
Seja u = (a, b, a) com a = c e v = (0, 0, d).
Então:
u + v = (a, b, a + d)
Aqui, o valor a + d pode ser qualquer número real, já que d é arbitrário. Portanto, U2 + U3 abrange todos os vetores onde a primeira e terceira componentes são quaisquer números reais, ou seja, U2 + U3 = R^3.

Resposta

  • U1 + U2 = R^3
  • U1 + U3 = U1
  • U2 + U3 = R^3

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