Seja
o espaço vetorial sobre
, com as operações usuais. E
subconjuntos de
:
Quem é:
e
;
Quem é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre espaços vetoriais dentro de
e nos pede para encontrar a soma de alguns subconjuntos específicos. O conteúdo principal aqui é espaços vetoriais e a operação de soma de subespaços. Para resolver, vamos precisar entender o que são esses subespaços
,
e
, e como somá-los entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a soma de dois subespaços. A soma de
e
, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser formados somando um vetor de
com um vetor de
.
Matematicamente:
Passo 3
Vamos começar encontrando
.
-
é o conjunto de vetores onde . -
é o conjunto de vetores onde .
Para somar um vetor de
com um de
, temos:
Seja
com
e
com
.
Então:
Como
, podemos reescrever:
Como
, substituímos
:
Esse vetor pode representar qualquer vetor em
, o que significa que
.
Passo 4
Agora, vamos para
.
-
é o conjunto de vetores .
Somando um vetor de
com um de
:
Seja
com
e
.
Então:
Como
, substituímos
:
Esse conjunto ainda satisfaz
. Portanto, a soma
não altera a estrutura de
, já que podemos escolher
para compensar. Assim,
.
Passo 5
Por fim, vamos determinar
.
Somando um vetor de
com um de
:
Seja
com
e
.
Então:
Aqui, o valor
pode ser qualquer número real, já que
é arbitrário. Portanto,
abrange todos os vetores onde a primeira e terceira componentes são quaisquer números reais, ou seja,
.