Quais dos conjuntos V com as operações indicadas de adição e multipicação por escalar é um espaço vetorial sobre R? Caso V não seja um espaço vetorial sobre R, mostre as propriedades que não funciona em determinado caso particular!
V=(1, y): y in R, com as operações de adição e multiplicação por escalar, definidas por: para todo (1, y),(1, b) in V e lambda in R
(1, y)+(1, b) & =(1, y+b) lambda cdot(1, y) & =(1, lambda y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto V = (1, y) : y in R, que é basicamente todos os pares onde o primeiro número é sempre 1 e o segundo pode ser qualquer número real. As operações que a gente vai usar para somar e multiplicar por escalar são definidas assim:
(1, y) + (1, b) &= (1, y + b) lambda cdot (1, y) &= (1, lambda y)
A pergunta é: Esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial sobre os números reais ( R)? Para descobrir, vamos ver se ele satisfaz todas as propriedades que precisam estar presentes para ser um espaço vetorial. Isso envolve checar algumas regras básicas da álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, a gente verifica se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se você pegar dois vetores de V e somar eles usando a regra dada, o resultado também deve estar em V.
Então, se temos (1, y) e (1, b) em V, a soma deles é (1, y + b). Como o primeiro componente continua sendo 1 e o segundo componente é a soma de dois números reais, o resultado (1, y + b) também está em V. Então, a soma está fechada dentro do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que se você pegar um vetor de V e multiplicar por qualquer número real lambda, o resultado também deve estar em V.
Pegando um vetor (1, y) e multiplicando por lambda, temos (1, lambda y). O primeiro componente é sempre 1, e o segundo componente é um número real multiplicado por outro real, o que continua sendo um número real. Portanto, (1, lambda y) também está em V. Então, a multiplicação por escalar está fechada dentro do conjunto.

Passo 4

Vamos checar a existência do elemento zero, ou seja, o vetor nulo. Em um espaço vetorial, deve existir um vetor que, quando somado a qualquer outro vetor, não muda o resultado. Normalmente, esse vetor é (0, 0) em espaços bidimensionais como este.
Mas vamos ver o que acontece aqui. Se considerarmos um vetor (1, y) e tentarmos encontrar um vetor (1, b) tal que:
(1, y) + (1, b) = (1, y + b) = (0, 0)
Aqui, o primeiro componente da soma seria 1, mas para ser igual a 0, teríamos que 1 = 0, o que não faz sentido. Isso significa que não existe um vetor nulo em V conforme a definição das operações dadas.

Passo 5

Como não tem o vetor nulo em V, já sabemos que V não pode ser um espaço vetorial. Mas, para completar, vamos verificar outra propriedade que também falha: a existência de inversos aditivos.
Um inverso aditivo para um vetor (1, y) seria um vetor (1, b) tal que:
(1, y) + (1, b) = (1, y + b) = (0, 0)
Assim como no passo anterior, isso exigiria que 1 = 0 e y + b = 0, o que é impossível. Portanto, não existem inversos aditivos em V.

Resposta

Então, resumindo, o conjunto V = (1, y) : y in R não é um espaço vetorial sobre R porque não possui o vetor nulo e não tem inversos aditivos. Essas propriedades são essenciais para ser considerado um espaço vetorial, e como elas não estão presentes, V não satisfaz as condições necessárias.

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