Quais dos conjuntos
com as operações indicadas de adição e multipicação por escalar é um espaço vetorial sobre
? Caso
não seja um espaço vetorial sobre
, mostre as propriedades que não funciona em determinado caso particular!
, com as operações de adição e multiplicação por escalar, definidas por: para todo
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto
, que é basicamente todos os pares onde o primeiro número é sempre 1 e o segundo pode ser qualquer número real. As operações que a gente vai usar para somar e multiplicar por escalar são definidas assim:
A pergunta é: Esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial sobre os números reais (
)? Para descobrir, vamos ver se ele satisfaz todas as propriedades que precisam estar presentes para ser um espaço vetorial. Isso envolve checar algumas regras básicas da álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, a gente verifica se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se você pegar dois vetores de
e somar eles usando a regra dada, o resultado também deve estar em
.
Então, se temos
e
em
, a soma deles é
. Como o primeiro componente continua sendo 1 e o segundo componente é a soma de dois números reais, o resultado
também está em
. Então, a soma está fechada dentro do conjunto.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que se você pegar um vetor de
e multiplicar por qualquer número real
, o resultado também deve estar em
.
Pegando um vetor
e multiplicando por
, temos
. O primeiro componente é sempre 1, e o segundo componente é um número real multiplicado por outro real, o que continua sendo um número real. Portanto,
também está em
. Então, a multiplicação por escalar está fechada dentro do conjunto.
Passo 4
Vamos checar a existência do elemento zero, ou seja, o vetor nulo. Em um espaço vetorial, deve existir um vetor que, quando somado a qualquer outro vetor, não muda o resultado. Normalmente, esse vetor é
em espaços bidimensionais como este.
Mas vamos ver o que acontece aqui. Se considerarmos um vetor
e tentarmos encontrar um vetor
tal que:
Aqui, o primeiro componente da soma seria 1, mas para ser igual a 0, teríamos que 1 = 0, o que não faz sentido. Isso significa que não existe um vetor nulo em
conforme a definição das operações dadas.
Passo 5
Como não tem o vetor nulo em
, já sabemos que
não pode ser um espaço vetorial. Mas, para completar, vamos verificar outra propriedade que também falha: a existência de inversos aditivos.
Um inverso aditivo para um vetor
seria um vetor
tal que:
Assim como no passo anterior, isso exigiria que 1 = 0 e
, o que é impossível. Portanto, não existem inversos aditivos em
.
Resposta
Então, resumindo, o conjunto
não é um espaço vetorial sobre
porque não possui o vetor nulo e não tem inversos aditivos. Essas propriedades são essenciais para ser considerado um espaço vetorial, e como elas não estão presentes,
não satisfaz as condições necessárias.