Seja (R^3,+, cdot) o espaço vetorial sobre R, com as operações usuais. E
& U1=(a, b, c) in R^3: a+b+c=0 & U2=(a, b, c) in R^3: a=c & U3=(0,0, c) in R^3: c in R
subconjuntos de R^3:
Quem é: U1 cap U2, U1 cap U3 e U2 cap U3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as interseções de alguns subconjuntos de R^3. Estamos lidando com Vetores em 3 dimensões e os subconjuntos U1, U2 e U3 são definidos por certas condições. Para resolver isso, vamos entender o que significa a interseção de conjuntos e depois aplicar essas condições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a interseção de conjuntos. A interseção de dois conjuntos, como U1 cap U2, é o conjunto de todos os elementos que estão em ambos os conjuntos U1 e U2 ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos encontrar U1 cap U2.
  • Condição de U1: a + b + c = 0
  • Condição de U2: a = c
Para estar na interseção, o vetor (a, b, c) deve satisfazer ambas as condições. Então, substituímos c = a na condição de U1:
a + b + a = 0 2a + b = 0 b = -2a
Então, os vetores na interseção têm a forma (a, -2a, a), onde a é um número real.

Passo 4

Agora, vamos encontrar U1 cap U3.
  • Condição de U1: a + b + c = 0
  • Condição de U3: a = 0 e b = 0
Para estar na interseção, o vetor (a, b, c) deve satisfazer ambas as condições. Como U3 exige que a = 0 e b = 0, substituímos esses valores na condição de U1:
0 + 0 + c = 0 c = 0
Então, o único vetor na interseção é (0, 0, 0), que é o vetor nulo.

Passo 5

Por fim, vamos encontrar U2 cap U3.
  • Condição de U2: a = c
  • Condição de U3: a = 0 e b = 0
Para estar na interseção, o vetor (a, b, c) deve satisfazer ambas as condições. Como U3 exige que a = 0, então de U2 também teremos c = 0. Além disso, b = 0.
Então, o único vetor na interseção é (0, 0, 0).

Resposta

  • U1 cap U2 = , (a, -2a, a) mid a in R ,
  • U1 cap U3 = , (0, 0, 0) ,
  • U2 cap U3 = , (0, 0, 0) ,

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