Seja (R^3,+, cdot) o espaço vetorial sobre R, com as operações usuais. E
& U1=(a, b, c) in R^3: a+b+c=0 & U2=(a, b, c) in R^3: a=c & U3=(0,0, c) in R^3: c in R
subconjuntos de R^3:
Mostre que U1, U2 e U3 são subespaços vetoriais de R^3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que três conjuntos específicos dentro de R^3 são subespaços vetoriais. Ou seja, vamos trabalhar com subespaços vetoriais na álgebra linear. Para resolver isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado pela adição (se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto).
  3. É fechado pela multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por um número qualquer, o resultado também está no conjunto).
Então, vamos verificar esses três pontos para cada um dos conjuntos U1, U2 e U3.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro conjunto:
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos verificar se ele está em :
Então, o vetor zero está em (\mathbf{U}_{1}}.
2. Fechado pela adição:
Suponha que e estão em . Então:
Vamos somar e :
Agora, verificamos se a soma satisfaz a condição:
Então, a soma está em (\mathbf{U}_{1}}.
3. Fechado pela multiplicação por escalar:
Se está em e é um escalar, então:
Verificando a condição:
Portanto, também está em

Passo 3

Agora vamos para o segundo conjunto:
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero tem e . Portanto, é verdadeiro.
2. Fechado pela adição:
Sejam e em (\mathbf{U}_{2}}. Então:
Somando os vetores:
Verificando a condição:
á
Então, está em (\mathbf{U}_{2}}.
3. Fechado pela multiplicação por escalar:
Se está em com e é um escalar, então:
Verificando a condição:
á
Portanto, também está em

Passo 4

Por fim, o terceiro conjunto:
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero é , que claramente está em (\mathbf{U}_{3}}.
2. Fechado pela adição:
Sejam e em (\mathbf{U}_{3}}.
Somando os vetores:
Como é um número real, está em (\mathbf{U}_{3}}.
3. Fechado pela multiplicação por escalar:
Se está em e é um escalar, então:
Como é um número real, está em

Resposta

Então, mostramos passo a passo que , e satisfazem todos os critérios para serem subespaços vetoriais de .)

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