Seja
o espaço vetorial sobre
, com as operações usuais. E
subconjuntos de
:
Mostre que
e
são subespaços vetoriais de
;
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que três conjuntos específicos dentro de
são subespaços vetoriais. Ou seja, vamos trabalhar com subespaços vetoriais na álgebra linear. Para resolver isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço:
- Contém o vetor zero.
- É fechado pela adição (se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto).
- É fechado pela multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por um número qualquer, o resultado também está no conjunto).
Então, vamos verificar esses três pontos para cada um dos conjuntos
,
e
.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro conjunto:
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos verificar se ele está em
:
Então, o vetor zero está em (\mathbf{U}_{1}}.
2. Fechado pela adição:
Suponha que
e
estão em
. Então:
Vamos somar
e
:
Agora, verificamos se a soma satisfaz a condição:
Então, a soma está em (\mathbf{U}_{1}}.
3. Fechado pela multiplicação por escalar:
Se
está em
e
é um escalar, então:
Verificando a condição:
Portanto,
também está em
Passo 3
Agora vamos para o segundo conjunto:
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero
tem
e
. Portanto,
é verdadeiro.
2. Fechado pela adição:
Sejam
e
em (\mathbf{U}_{2}}. Então:
Somando os vetores:
Verificando a condição:
Então,
está em (\mathbf{U}_{2}}.
3. Fechado pela multiplicação por escalar:
Se
está em
com
e
é um escalar, então:
Verificando a condição:
Portanto,
também está em
Passo 4
Por fim, o terceiro conjunto:
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero é
, que claramente está em (\mathbf{U}_{3}}.
2. Fechado pela adição:
Sejam
e
em (\mathbf{U}_{3}}.
Somando os vetores:
Como
é um número real,
está em (\mathbf{U}_{3}}.
3. Fechado pela multiplicação por escalar:
Se
está em
e
é um escalar, então:
Como
é um número real,
está em
Resposta
Então, mostramos passo a passo que
,
e
satisfazem todos os critérios para serem subespaços vetoriais de .)