Seja
uma função derivável e seja
fixado. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
(a) Se
, para todo
, então
(b) Se
é derivável até segunda ordem
e
, para todo
, então
© Se
então
.
(d) Se existe uma assíntota para
(quando
) com coeficiente angular
e se existe
então
.
(e) Se
então
tem uma assíntota com coeficiente angular igual a
.
(a) Se
(d) Se existe uma assíntota para
(e) Se
Passo 1
O enunciado apresenta uma função diferenciável f: ℝ→ℝ e pede para testar cinco afirmações sobre comportamento assintótico e derivadas (monotonicidade, convexidade, limite da derivada, assíntotas). Vamos usar teoria de funções monotônicas (Teorema de Valor Médio e integração de f′), convexidade (f″>0), regra de l’Hôpital e definição de assíntota.
Passo 2
Item (a): “Se f′(x)>0 para todo x>a, então limₓ→+∞ f(x)=+∞”. Isso é falso: basta um contraexemplo como f(x)=arctan(x), que satisfaz f′(x)=1/(1+x²)>0 para todo x, mas limₓ→+∞ arctan(x)=π/2<+∞.
Passo 3
Item (b): “Se f é C² com f′(x)>0 e f″(x)>0 para x>a, então limₓ→+∞ f(x)=+∞”. Como f″>0, f′ é crescente e, em particular, f′(x)≥f′(a)=c>0 para todo x≥a. Integrando f′ de a até x:
Logo f(x)→+∞. A afirmação é verdadeira.
Passo 4
Item ©: “Se limₓ→+∞ f′(x)=0 então limₓ→+∞ f(x)=L∈ℝ”. Isso é falso: por exemplo f(x)=ln(x) tem f′(x)=1/x→0, mas f(x)=ln(x)→+∞.
Passo 5
Item (d): Seja y=mx+b uma assíntota de f quando x→+∞ e suponha limₓ→+∞ f′(x)=L. Precisamos mostrar L=m. Como f(x)=mx+b+o(1), temos limₓ→+∞ f(x)/x = m. Pela regra de l’Hôpital:
$$
\lim_{x\to+∞}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+∞}f′(x)=L.$$
Logo L=m. A afirmação é verdadeira.
Logo L=m. A afirmação é verdadeira.
Passo 6
Item (e): “Se limₓ→+∞ f′(x)=m≠0 então f tem assíntota de coeficiente angular m”. Isso é falso: por exemplo f(x)=x+ln(x) satisfaz f′(x)=1+1/x→1, mas f(x)−x=ln(x)→+∞, não há assíntota. Portanto a afirmação é falsa.
Resposta
(a) Falsa; (b) Verdadeira; © Falsa; (d) Verdadeira; (e) Falsa.