Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
Se a função f(x, y)=k é constante, então integral duplaR f(x, y) d A=k Área (R).

Passo 1

A questão pede para classificar a afirmação “Se a função f(x,y)=k é constante, então integral duplaR f(x,y),dA = k Área (R)”. O conteúdo é integrais duplas e propriedades de funções constantes, e vamos precisar usar que a integral de uma constante sai do sinal de integral e que integral duplaR dA = Área (R).

Passo 2

Como f(x,y)=k em todo R, temos por definição de integral dupla:
integral duplaR f(x,y),dA = integral duplaR k,dA
Pela propriedade de linearidade da integral, podemos tirar a constante k para fora do sinal de integral:
integral duplaR k,dA = k,integral duplaR dA
Mas integral duplaR dA é exatamente a área da região R. Logo:
k,integral duplaR dA = k,Área(R) Á
Isso demonstra a igualdade pedida.

Resposta

Verdadeiro

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