Qual é o menor valor da constante
para o qual a desigualdade
é válida para todo número positivo
?
Passo 1
Estamos com a desigualdade
válida para todo
. O conteúdo aqui é encontrar o mínimo de uma função em
e exigir que esse mínimo seja pelo menos
.
Passo 2
Definimos a função
. Para achar o mínimo em
, calculamos a derivada:
Anulamos
, obtendo
e, portanto, o ponto crítico
.
Passo 3
Avaliamo
em
:
Esse é o valor mínimo de
em
.
Passo 4
Para que
para todo
, precisamos de
Logo
e, elevando ao quadrado,
. Portanto, o menor valor de
é 2.
Resposta
2