Qual é o menor valor da constante a para o qual a desigualdade a x+1x >= 2 raiz2 é válida para todo número positivo x ?

Passo 1

Estamos com a desigualdade a x + tfrac1x >= 2raiz2 válida para todo x>0. O conteúdo aqui é encontrar o mínimo de uma função em (0,infty) e exigir que esse mínimo seja pelo menos 2raiz2.

Passo 2

Definimos a função f(x)=a x + tfrac1x. Para achar o mínimo em x>0, calculamos a derivada:
f'(x)=a-1x^2
Anulamos f'(x)=0, obtendo a=1/x^2 e, portanto, o ponto crítico x0=1/raiz a.

Passo 3

Avaliamo f em x0=1/raiz a:
f(x0)=acdot1raiz a+11/raiz a=raiz a+raiz a=2raiz a
Esse é o valor mínimo de f(x) em (0,infty).

Passo 4

Para que f(x)>=2raiz2 para todo x>0, precisamos de
2raiz a>=2raiz2
Logo raiz a>=raiz2 e, elevando ao quadrado, a>=2. Portanto, o menor valor de a é 2.

Resposta

2

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