Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
Se
então
para todos os pontos.
Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar a afirmação “se
então
para todo ponto” como verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é integral dupla e propriedades de linearidade e cancelamento de áreas positivas e negativas.
Passo 2
A afirmação é falsa, pois uma integral dupla nula não obriga a função a ser identicamente zero: basta que partes positivas e negativas se equilibrem, ou que a função seja não nula em conjunto de medida zero.
Passo 3
Como contra-exemplo, tome
e defina
. Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro integramos em
:
Agora integramos em
:
Porém
, logo não é identicamente zero.
Passo 4
Portanto a afirmação é falsa.
Resposta
Falso.