Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
Se integral duplaR f(x, y) d A=0 então f(x, y)=0 para todos os pontos.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a afirmação “se integral duplaR f(x,y),dA=0 então f(x,y)=0 para todo ponto” como verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é integral dupla e propriedades de linearidade e cancelamento de áreas positivas e negativas.

Passo 2

A afirmação é falsa, pois uma integral dupla nula não obriga a função a ser identicamente zero: basta que partes positivas e negativas se equilibrem, ou que a função seja não nula em conjunto de medida zero.

Passo 3

Como contra-exemplo, tome R=[0,1]times[0,1] e defina f(x,y)=x-y. Vamos calcular a integral dupla:
integral duplaR f(x,y),dA = integral0^1integral0^1 (x-y),dx,dy
Primeiro integramos em x:
integral0^1 (x-y),dx = [tfrac12x^2 -yx]0^1 = tfrac12 - y
Agora integramos em y:
integral0^1 (tfrac12 - y),dy = [tfrac12y - tfrac12y^2]0^1 = tfrac12 - tfrac12 = 0
Porém f(1,0)=1neq0, logo não é identicamente zero.

Passo 4

Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

Falso.

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