Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
Se
então
Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação: se
, então
O conteúdo envolve aplicação da linearidade da integral dupla e da separação de variáveis.
Passo 2
Pela linearidade, escrevemos
Aqui usamos que a integral de soma é soma de integrais.
Passo 3
Agora calculamos as integrais internas:
porque
não depende de
, e
permanece dependendo apenas de
. Logo a integral completa é
e não o que o enunciado afirma.
Passo 4
Comparando com o lado direito proposto,
vemos que há dois problemas: o fator
multiplicando
e também os limites de integração de
deveriam ser
, não
. Portanto a afirmação é falsa.
Passo 5
Contra-exemplo numérico: escolha
,
,
,
,
,
.
Calculamos
Calculamos
O lado direito proposto é
Como
, a afirmação falha no contra-exemplo.
Passo 6
Portanto a afirmação é falsa.
Resposta
Falsa