Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
Se f(x, y)=g(x)+h(y) então

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação: se f(x,y)=g(x)+h(y), então
integrala^bintegralc^d f(x,y),dy,dx = gl(integrala^b g(x),dxgr) + gl(integrala^b h(y),dygr)
O conteúdo envolve aplicação da linearidade da integral dupla e da separação de variáveis.

Passo 2

Pela linearidade, escrevemos
integrala^bintegralc^d f(x,y),dy,dx = integrala^bintegralc^d l[g(x)+h(y)r],dy,dx = integrala^bl(integralc^d g(x),dy + integralc^d h(y),dyr),dx
Aqui usamos que a integral de soma é soma de integrais.

Passo 3

Agora calculamos as integrais internas:
integralc^d g(x),dy = g(x),(d-c),
porque g(x) não depende de y, e
integralc^d h(y),dy
permanece dependendo apenas de c,d. Logo a integral completa é
(d-c)integrala^b g(x),dx + (b-a)integralc^d h(y),dy,
e não o que o enunciado afirma.

Passo 4

Comparando com o lado direito proposto,
integrala^b g(x),dx + integrala^b h(y),dy,
vemos que há dois problemas: o fator d-c multiplicando integrala^b g e também os limites de integração de h(y) deveriam ser [c,d], não [a,b]. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 5

Contra-exemplo numérico: escolha g(x)=x, h(y)=y, a=0, b=2, c=0, d=1.
Calculamos
LHS = integral0^2integral0^1(x+y),dy,dx = integral0^2 l[xcdot1 + tfrac1^22r] dx = integral0^2 (x+tfrac12),dx = l[tfracx^22+tfracx2r]0^2 = 2+1 =3
O lado direito proposto é
integral0^2 x,dx + integral0^2 y,dy = l[tfracx^22r]0^2 + l[tfracy^22r]0^2 =2+2=4
Como 3neq4, a afirmação falha no contra-exemplo.

Passo 6

Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa

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