Questão 2.(0.6pt) Escolha UMA das alternativas:
Enuncie o Teorema do Valor Médio e use-o para mostrar que $ \sqrt[3]{u+1} \leq 1+\frac{u}{3} \forall u \geq 0$.

Passo 1

A questão pede pra enunciar o Teorema do Valor Médio e usar ele pra mostrar que raiz[3]u+1<=1+ u3 para todo u>=0. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Médio de funções deriváveis, e vamos precisar definir uma função adequada e verificar as hipóteses de continuidade e diferenciabilidade.

Passo 2

Definimos a função f(x)=x^1/3. Note que f é contínua em qualquer intervalo fechado de R>0 e derivável em qualquer intervalo aberto de R>0. Vamos aplicá-lo no intervalo [1,,1+u], que está contido em R>0 já que u>=0.

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Médio, existe cin(1,,1+u) tal que
f'(c)=f(1+u)-f(1)(1+u)-1

Passo 4

Como f(x)=x^1/3, sua derivada é
f'(x)=13x^2/3

Passo 5

Observando que xmapsto x^-2/3 é decrescente para x>0, segue f'(c)<= f'(1)=1/3. Substituindo na igualdade do TVM:
f(1+u)-f(1)u<=13

Passo 6

Multiplicando os dois lados por u>=0 e lembrando que f(1+u)=raiz[3]1+u e f(1)=1, obtemos
raiz[3]1+u-1<= u3,
o que é equivalente a
raiz[3]1+u<=1+ u3

Resposta

Foi mostrada a desigualdade raiz[3]u+1<=1+tfrac u3 para todo u>=0 usando o Teorema do Valor Médio.

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