Questão 2.(0.6pt) Escolha UMA das alternativas:
Enuncie o Teorema do Valor Médio e use-o para mostrar que $ \sqrt[3]{u+1} \leq 1+\frac{u}{3} \forall u \geq 0$.
Enuncie o Teorema do Valor Médio e use-o para mostrar que $ \sqrt[3]{u+1} \leq 1+\frac{u}{3} \forall u \geq 0$.
Passo 1
A questão pede pra enunciar o Teorema do Valor Médio e usar ele pra mostrar que
para todo
. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Médio de funções deriváveis, e vamos precisar definir uma função adequada e verificar as hipóteses de continuidade e diferenciabilidade.
Passo 2
Definimos a função
. Note que
é contínua em qualquer intervalo fechado de
e derivável em qualquer intervalo aberto de
. Vamos aplicá-lo no intervalo
, que está contido em
já que
.
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Médio, existe
tal que
Passo 4
Como
, sua derivada é
Passo 5
Observando que
é decrescente para
, segue
. Substituindo na igualdade do TVM:
Passo 6
Multiplicando os dois lados por
e lembrando que
e
, obtemos
o que é equivalente a
Resposta
Foi mostrada a desigualdade
para todo
usando o Teorema do Valor Médio.