Utilize as regras de L’Hospital para determinar
lim x +infty 5 x^3+x^2+8 xx+e^x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto+infty5x^3 + x^2 + 8xx + e^x
O conteúdo aqui é limites de funções com formas indeterminadas e vamos usar a regra de L’Hôpital, que nos autoriza a derivar numerador e denominador quando formos de tfrac∞∞.

Passo 2

Quando xto+infty, o numerador 5x^3 + x^2 + 8x tende a +infty e o denominador x + e^x também tende a +infty. Logo temos a forma indeterminada tfrac∞∞ e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital duas vezes seguidas: derivamos numerador e denominador uma primeira vez e obtemos
ddx(5x^3 + x^2 + 8x) = 15x^2 + 2x + 8,
ddx(x + e^x) = 1 + e^x,
então o limite vira
15x^2 + 2x + 81 + e^x,
ainda na forma tfrac∞∞. Aplicando novamente L’Hôpital, chegamos a
30x + 2e^x

Passo 4

Agora aplicamos L’Hôpital pela terceira vez: derivando temos
ddx(30x + 2) = 30,
ddx(e^x) = e^x,
logo o limite passa a ser
limxto+infty30e^x
Como e^x cresce muito mais rápido que qualquer constante, esse limite é 0.

Resposta

0

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