Sobre a função f:[0,4] R definida por f(x)=raizx(1-x) é INCORRETO afirmar que:
a) f tem uma raiz no intervalo [1 / 3,4].
b) f é contínua em [0,4] e derivável em (0,4].
c) O valor mínimo de f(x) é 0 .
d) O valor máximo de f(x) é 23 raiz3.
e) f tem apenas um ponto crítico no intervalo (0,4).

Passo 1

O enunciado pede para achar qual das afirmações sobre a função f:[0,4]toR, f(x)=raizx(1-x), é INCORRETA. Vamos usar conceitos de raízes, continuidade, derivabilidade e extremos de funções em intervalo fechado.

Passo 2

Para a afirmação (a), procuramos as raízes de f. Resolvendo raizx(1-x)=0 vemos que x=0 ou x=1. A raiz x=1 pertence ao intervalo [1/3,4], logo (a) é CORRETA.

Passo 3

A afirmação (b) envolve continuidade e derivabilidade. A função raizx e (1-x) são contínuas em [0,4], logo o produto também. A derivada só falha em x=0, mas em (0,4]] existe normalmente. Portanto (b) é CORRETA.

Passo 4

Para analisar extremos e responder ©, (d) e (e) calculamos a derivada:
f'(x)=ddxl(raizx(1-x)r)=1-x2raizx-raizx=1-3x2raizx

Passo 5

O único ponto crítico em (0,4) vem de f'(x)=0 1-3x=0 x=1/3, confirmando que (e) é CORRETA. Avaliando f em 0,1/3,4:
f(0)=0, f(1/3)=23raiz3, f(4)=2cdot(-3)=-6

Passo 6

Desse modo o valor mínimo absoluto em [0,4] é -6, não 0, e o máximo é 2/(3raiz3). Logo © é INCORRETA, enquanto (d) está certa.

Resposta

c

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