Classifique as afirmativas a seguir como verdadeiras ou falsas. Se verdadeira, justifique. Se falsa, explique ou dê um exemplo que invalide o enunciado e tente consertá-la: Se A B=0, então A=0 ou B=0.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se, para matrizes (ou vetores) A e B sobre um corpo (por exemplo, R), vale sempre que
A,B = 0 Longrightarrow A = 0 ;ou; B = 0
O conteúdo envolvido é a existência (ou não) de divisores de zero no anel das matrizes.

Passo 2

Vamos dar um contraexemplo com matrizes reais não nulas cuja multiplicação dá a matriz zero. Defina
1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = .]
Calculando o produto:
1\cdot 1 + (-1)\cdot 1 & 1\cdot 1 + (-1)\cdot 1 \end{pmatrix} = =\overline{\mathbf{0}}.]
Mas nem nem são a matriz zero. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Para “consertar” a proposição, precisamos de uma hipótese extra que elimine divisores de zero. Por exemplo:
  • Se A e B são escalares em um corpo (números reais ou complexos), então AB=0 implica A=0 ou B=0.
  • Para matrizes, basta exigir que uma delas seja inversível: se A é inversível e AB=0, então multiplicando à esquerda por A^-1 B=0.

Resposta

Falsa. Contraexemplo:
A=1&-11&-1, B=1&11&1, AB=0,
embora Aneq0 e Bneq0. A afirmação fica verdadeira se, por exemplo, A ou B for inversível, ou se estivermos no caso de escalares.

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