Em R^4, considere o produto definido por
lang<=(u1, u2, u3, u4),(v1, v2, v3, v4)rang<==sumi=1^4 ai ui vi
onde ai, i=1,2,3,4, são constantes reais positivas.
(c) Dados u=(-3,1,2,-1) e v=(4,0,-8,0), calcule:
ii. (lang<= u, vrang<=|v|^2) v

Passo 1

O enunciado define em R^4 o produto interno
lang<= (u1,u2,u3,u4),(v1,v2,v3,v4)rang<==sumi=1^4ai,ui,vi,
com constantes ai>0. Pede-se para calcular
l(lang<= u,vrang<=|v|^2r),v,
que corresponde à projeção de u sobre v. Para isso, precisamos achar lang<= u,vrang<=, |v|^2=lang<= v,vrang<= e depois multiplicar o escalar resultante pelo vetor v.

Passo 2

Calcular lang<= u,vrang<= para
u=(-3,1,2,-1), v=(4,0,-8,0)
Pelo produto interno dado,
lang<= u,vrang<= = a1(-3)(4)+a2(1)(0)+a3(2)(-8)+a4(-1)(0) = -12a1 -16a3

Passo 3

Calcular |v|^2=lang<= v,vrang<=:
lang<= v,vrang<= = a1cdot4^2 + a2cdot0^2 + a3cdot(-8)^2 + a4cdot0^2 = 16a1 +64a3

Passo 4

Formar o escalar
lang<= u,vrang<=|v|^2 =-12a1-16a316a1+64a3 =-4(3a1+4a3)16(a1+4a3) =-3a1+4a34(a1+4a3)

Passo 5

Multiplicar esse escalar por v=(4,0,-8,0):
l(-tfrac3a1+4a34(a1+4a3)r),(4,0,-8,0) =l(-tfrac3a1+4a3a1+4a3,,0,,2tfrac3a1+4a3a1+4a3,,0r)

Resposta

l(-tfrac3a1+4a3a1+4a3,,0,,2tfrac3a1+4a3a1+4a3,,0r)

Exercícios relacionados