Seja V um espaço vetorial com produto interno. Sabendo que |v|=3 e |w|=5, com v, w in V, determine alpha in R tal que lang<= v+alpha w, v-alpha wrang<==0.

Passo 1

O enunciado diz que em um espaço vetorial com produto interno queremos que os vetores v+alpha w e v-alpha w sejam ortogonais, isto é,
lang<= v+alpha w,;v-alpha wrang<= = 0
Sabemos também que |v|=3 e |w|=5. Vamos usar a bilinearidade e a simetria do produto interno para encontrar alpha.

Passo 2

Expandindo o produto interno pela bilinearidade, temos
lang<= v+alpha w,;v-alpha wrang<= =lang<= v,vrang<= ;-;alphalang<= v,wrang<= ;+;alphalang<= w,vrang<= ;-;alpha^2lang<= w,wrang<=

Passo 3

Como o produto interno é simétrico ( lang<= v,wrang<==lang<= w,vrang<=), os termos cruzados se cancelam:
-alphalang<= v,wrang<=+alphalang<= w,vrang<==0
Logo sobra
lang<= v+alpha w,;v-alpha wrang<= =lang<= v,vrang<= - alpha^2lang<= w,wrang<= =|v|^2 - alpha^2|w|^2

Passo 4

Para que isso seja zero, impomos
|v|^2 - alpha^2|w|^2 = 0 ;;Longrightarrow;; alpha^2 = |v|^2|w|^2 = 3^25^2 = 925

Passo 5

Da equação alpha^2 = tfrac925 seguem as duas soluções reais
alpha = 35 ou alpha = -35

Resposta

alpha = dfrac35 ou alpha = -dfrac35.

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