Em R^4, considere o produto interno canônico e a norma euclidiana definida por ele. Para u=(-3,1,2,-1) e v=(4,0,-8,0), verifique que valem as seguintes desigualdades:
(a) |lang<= u, vrang<=| <=|u||v| (desigualdade de Cauchy-Schwarz)

Passo 1

O enunciado define em R^4 o produto interno canônico e a norma euclidiana associada, e pede para verificar a desigualdade de Cauchy–Schwarz
|lang<= u,vrang<=|<=|u||v|
para os vetores u=(-3,1,2,-1) e v=(4,0,-8,0). Para isso, vamos calcular lang<= u,vrang<=, |u| e |v|.

Passo 2

Calcular o produto interno
lang<= u,vrang<= = (-3)cdot4 + 1cdot0 + 2cdot(-8) + (-1)cdot0 = -12 -16 = -28

Passo 3

Calcular a norma de u
|u| = raiz(-3)^2 + 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz9 + 1 + 4 + 1 = raiz15

Passo 4

Calcular a norma de v
|v| = raiz4^2 + 0^2 + (-8)^2 + 0^2 = raiz16 + 64 = raiz80 = 4raiz5

Passo 5

Calcular o produto das normas
|u||v| = raiz15,l(4raiz5r) = 4raiz75 = 4cdot5raiz3 = 20raiz3

Passo 6

Comparar os valores calculados
|lang<= u,vrang<=| = 28 e |u||v| = 20raiz3approx34,64,
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28 <= 20raiz3,
confirmando a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Resposta

|lang<= u,vrang<=| = 28 <= 20raiz3 = |u||v|

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