Classifique as alternativas abaixo em verdadeiras ou falsas. Jusitifique sua resposta.
(e) O conjunto S=(-1,0,1),(0,1,1),(2,3,1),(2,2,0),(1,1,0) é LD e contém uma base de R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar duas coisas sobre
S = (-1,0,1),;(0,1,1),;(2,3,1),;(2,2,0),;(1,1,0)subsetR^3:
  1. Se S é linearmente dependente.
  2. Se S contém uma base de R^3.
    Para isso, vamos calcular o posto (rank) da matriz cujas linhas são os vetores de S. Se o posto for menor que 5, S é LD; se for menor que 3, então não existe subconjunto de 3 vetores LI, logo não há base de R^3.

Passo 2

Montamos a matriz
A= -1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 2 & 3 & 1 2 & 2 & 0 1 & 1 & 0
e aplicamos eliminação de Gauss para determinar o posto.

Passo 3

Tornamos o pivô de A11 igual a 1 (multiplicando a primeira linha por -1) e zeramos abaixo:
1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 2 & 3 & 1 2 & 2 & 0 1 & 1 & 0 longrightarrow 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 0 & 3 & 3 0 & 2 & 2 0 & 1 & 1
Depois usamos o segundo pivô (posição (2,2)) para zerar as entradas abaixo, obtendo linhas nulas nas 3 últimas linhas:
1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 4

Da matriz reduzida vemos que existem exatamente 2 pivôs não nulos, logo
rank(A)=2
Isso implica que
  1. O conjunto S é linearmente dependente (já que rank(A)<5).
  2. O subespaço gerado por S tem dimensão 2, portanto não há como extrair 3 vetores linearmente independentes de S. Assim, S não contém uma base de R^3.

Resposta

A afirmação é falsa. Embora S seja linearmente dependente, ela não contém um subconjunto de três vetores independentes que formasse uma base de R^3.

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