Exiba uma transformação linear T tal que N u c T=[1-t, t+t^2-2 t^3] e Im T=[(0,1,-1,1),(2,0,0,1)]. Determine também a dimensão do N u c T e a dimensão da ImT.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T: P3( R)to R^4
cujo núcleo seja
Nuc,T=l[,1-t,;t+t^2-2t^3r]
e a imagem seja
Im,T=l[(0,1,-1,1),;(2,0,0,1)r]
O conteúdo envolve construir T a partir de uma base de P3, obrigando T a anular exatamente os geradores do núcleo e a enviar dois outros vetores para os geradores da imagem. Também usaremos o Teorema do Núcleo-Impressão para checar dimensões.

Passo 2

Escolhemos a base canônica de P3:
1,;t,;t^2,;t^3. Denotemos
u=(0,1,-1,1), v=(2,0,0,1)
Impondo T(1-t)=0 e T(t+t^2-2t^3)=0, temos as condições lineares
T(1)-T(t)=0, T(t)+T(t^2)-2T(t^3)=0
Para gerar a imagem desejada, fixamos
T(1)=u, T(t)=u, T(t^3)=v
Da segunda condição segue
T(t^2)=2,T(t^3)-T(t)=2v-u

Passo 3

Concluímos que, para todo polinômio
p(t)=a0+a1t+a2t^2+a3t^3,
temos
Tl(p(t)r) =(a0+a1),u;+;a2,(2v-u);+;a3,v =l(a0+a1-a2r),u;+;(2a2+a3),v

Passo 4

Vejamos que:
1. Se p(t)=1-t então a0=1,a1=-1,a2=a3=0 e
;a0+a1-a2=0,;2a2+a3=0, implies T(p)=0.
2. Se p(t)=t+t^2-2t^3 então a0=0,a1=1,a2=1,a3=-2 e
;a0+a1-a2=0,;2a2+a3=0, implies T(p)=0.
Como escolhidos geradores do núcleo são independentes, dimNuc,T=2.
Como u e v são independentes em R^4, dimIm,T=2 e
Im,T=[u,v].

Resposta

Definimos
T(a0+a1t+a2t^2+a3t^3) =l(a0+a1-a2r),(0,1,-1,1)+l(2a2+a3r),(2,0,0,1)
Temos dimNuc,T=2 e dimIm,T=2.

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