Exiba uma transformação linear
tal que
e
. Determine também a dimensão do
e a dimensão da
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
cujo núcleo seja
e a imagem seja
O conteúdo envolve construir
a partir de uma base de
, obrigando
a anular exatamente os geradores do núcleo e a enviar dois outros vetores para os geradores da imagem. Também usaremos o Teorema do Núcleo-Impressão para checar dimensões.
Passo 2
Escolhemos a base canônica de
:
. Denotemos
Impondo
e
, temos as condições lineares
Para gerar a imagem desejada, fixamos
Da segunda condição segue
Passo 3
Concluímos que, para todo polinômio
temos
temos
Passo 4
Vejamos que:
. Se
então
e
,
.
. Se
então
e
,
.
Como escolhidos geradores do núcleo são independentes,
.
Como e
são independentes em
,
e
.
Como
Resposta
Definimos
Temos
e
.