Seja S: R^4 R^2 uma aplicação linear tal que
[S]D C=[rrrr 1 & 2 & 0 & 0 0 & 3 & 2 & -1 ]
com D=(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) base de R^4 e C=(1,0),(0,-1) base de R^2
(a) Determine S(x, y, z, w)

Passo 1

O enunciado dá a aplicação linear S:R^4toR^2 cujos sistemas de referência são
D=(1,1,0,0),,(0,1,1,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1)
em R^4 e
C=(1,0),,(0,-1)
em R^2, com matriz relativa a essas bases
[S]DC = 1 & 2 & 0 & 0 0 & 3 & 2 & -1
Queremos achar a expressão de S(x,y,z,w) em coordenadas canônicas.

Passo 2

Para obter [v]D de v=(x,y,z,w), escrevemos
(x,y,z,w) =alpha1(1,1,0,0)+alpha2(0,1,1,0)+alpha3(0,0,1,0)+alpha4(0,0,0,1)
Isso gera o sistema
alpha1 = x, alpha1+alpha2=y, alpha2+alpha3=z, alpha4=w,
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alpha1=x, alpha2=y-x, alpha3=z-y+x, alpha4=w

Passo 3

Aplicamos a matriz [S]DC ao vetor de coordenadas alpha. Chamando beta1,beta2 as coordenadas de [S(v)]C, temos
beta1 beta2 = 1 & 2 & 0 & 0 0 & 3 & 2 & -1 alpha1 alpha2 alpha3 alpha4
Substituindo as alpha encontradas,
beta1 =alpha1+2alpha2 =x+2(y-x) =2y-x,
beta2 =3alpha2+2alpha3-alpha4 =3(y-x)+2(z-y+x)-w =-x+y+2z-w

Passo 4

Para voltar ao sistema canônico de R^2, usamos
S(v) =beta1,(1,0)+beta2,(0,-1) =(beta1,,-beta2)
Substituindo beta1 e beta2 resulta em
S(x,y,z,w) =(2y-x,,-(-x+y+2z-w)) =(-x+2y,;x-y-2z+w)

Resposta

S(x,y,z,w)=(-x+2y,;x-y-2z+w)

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