Classifique as alternativas abaixo em verdadeiras ou falsas. Jusitifique sua resposta.
(g) Se
é uma reta em
que passa pela origem, então
é um subespaço vetorial de dimensão 1 e existe
de modo que
pertence a uma base
de
.
(g) Se
Passo 1
O enunciado afirma que, se
é uma reta que passa pela origem, então
-
é um subespaço vetorial de dimensão 1, e - existe um vetor
tal que faz parte de alguma base de .
O conteúdo aqui envolve subespaços gerados por um único vetor (dimensão 1) e o teorema de extensão de base (qualquer conjunto linearmente independente pode ser estendido a uma base do espaço).
Passo 2
Uma reta que passa pela origem em
tem a forma
onde
é um vetor fixo. Por definição, esse conjunto contém o vetor zero (basta
), é fechado sob soma e multiplicação por escalar, logo é um subespaço vetorial. Além disso, como todo vetor em
é múltiplo escalar de
, temos
o que mostra que
.
Passo 3
Escolhendo
, o conjunto
é linearmente independente em
. Pelo teorema de extensão de base, podemos estender
a uma base de
, ou seja, existe
tal que
é uma base de
. Nesse processo,
permanece em
e
por construção.
Resposta
Verdadeiro.