Classifique as alternativas abaixo em verdadeiras ou falsas. Jusitifique sua resposta.
(g) Se r é uma reta em R^2 que passa pela origem, então r é um subespaço vetorial de dimensão 1 e existe v in r de modo que v pertence a uma base B de R^2.

Passo 1

O enunciado afirma que, se rsubsetR^2 é uma reta que passa pela origem, então
  1. r é um subespaço vetorial de dimensão 1, e
  2. existe um vetor vin r tal que v faz parte de alguma base B de R^2.
    O conteúdo aqui envolve subespaços gerados por um único vetor (dimensão 1) e o teorema de extensão de base (qualquer conjunto linearmente independente pode ser estendido a uma base do espaço).

Passo 2

Uma reta que passa pela origem em R^2 tem a forma
r = t,u mid tinR,
onde uneq 0 é um vetor fixo. Por definição, esse conjunto contém o vetor zero (basta t=0), é fechado sob soma e multiplicação por escalar, logo é um subespaço vetorial. Além disso, como todo vetor em r é múltiplo escalar de u, temos
r = Spanu,
o que mostra que dim(r)=1.

Passo 3

Escolhendo v=u, o conjunto v é linearmente independente em R^2. Pelo teorema de extensão de base, podemos estender v a uma base de R^2, ou seja, existe winR^2 tal que
B = v,,w
é uma base de R^2. Nesse processo, v permanece em B e vin r por construção.

Resposta

Verdadeiro.

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