Questão 4 (2 pontos) 0,75
Resolva a equação diferencial dada usando séries de potências.
Resolva a equação diferencial dada usando séries de potências.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
por séries de potências da forma
Para isso, vamos calcular
e
, substituir na equação e igualar coeficientes de
.
Passo 2
Supondo
temos
Multiplicando
por
e somando
, escrevemos cada soma em potências de
.
Passo 3
Após alinhar todas as somas em potências
, obtemos a relação
Como
, o coeficiente geral anula-se se
ou seja,
Passo 4
Da recorrência
:
- Para
: - Para
: e daí, todos os coeficientes ímpares para são zero.
Portanto a parte ímpar da série é só.
Passo 5
Para os termos pares, com
, a recorrência vira
logo
Assim a parte par da série é
Passo 6
Como
e
são constantes arbitrárias, as duas soluções independentes são
Logo a solução geral é
Resposta
com a recorrência