Questão 4 (2 pontos) 0,75
Resolva a equação diferencial dada usando séries de potências.
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x^{2}+1)\,y'' + x\,y' - y = 0
por séries de potências da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.
Para isso, vamos calcular y' e y'', substituir na equação e igualar coeficientes de x^{n}.

Passo 2

Supondo
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
temos
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{\,n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}x^{\,n-2}.
Multiplicando y'' por x^{2}+1 e somando x\,y'-y, escrevemos cada soma em potências de x^{n}.

Passo 3

Após alinhar todas as somas em potências x^{n}, obtemos a relação
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl[(n+2)(n+1)a_{n+2} \;+\;n(n-1)a_{n} \;+\;n\,a_{n}\;-\;a_{n}\Bigr]x^{n}=0.
Como n(n-1)+n-1=n^{2}-1, o coeficiente geral anula-se se
(n+2)(n+1)\,a_{n+2}+(n^{2}-1)\,a_{n}=0,
ou seja,
a_{n+2}=-\frac{n^{2}-1}{(n+2)(n+1)}\,a_{n} =-\frac{(n-1)(n+1)}{(n+2)(n+1)}\,a_{n} =-\frac{n-1}{n+2}\;a_{n}.

Passo 4

Da recorrência a_{n+2}= -\tfrac{n-1}{n+2}a_{n}:
  • Para n=0: a_{2}=-\tfrac{-1}{2}a_{0}=\tfrac12\,a_{0}.
  • Para n=1: a_{3}=-\tfrac{0}{3}a_{1}=0, e daí, todos os coeficientes ímpares a_{2k+1} para k\ge1 são zero.
    Portanto a parte ímpar da série é só a_{1}x.

Passo 5

Para os termos pares, com n=2j, a recorrência vira
a_{2j}= -\frac{2j-2-1}{2j}\,a_{2j-2} =-\frac{2j-3}{2j}\,a_{2j-2},
logo
a_{2j} =\Bigl(-\tfrac{2j-3}{2j}\Bigr)\Bigl(-\tfrac{2j-5}{2j-2}\Bigr)\cdots\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)\,a_{0} =\bigl(-1\bigr)^{j}\,\frac{(2j-3)!!}{(2j)!!}\;a_{0}.
Assim a parte par da série é
y_{1}(x) =\sum_{j=0}^{\infty}a_{2j}\,x^{2j} =a_{0}\sum_{j=0}^{\infty}\bigl(-1\bigr)^{j}\frac{(2j-3)!!}{(2j)!!}\;x^{2j}.

Passo 6

Como a_{0} e a_{1} são constantes arbitrárias, as duas soluções independentes são
y_{1}(x) =1+\tfrac12\,x^{2}-\tfrac18\,x^{4}+\tfrac1{16}\,x^{6}-\cdots,
y_{2}(x)=x.
Logo a solução geral é
y(x)=C_{1}\,y_{1}(x)+C_{2}\,y_{2}(x).

Resposta

y(x)=C_{1}\Bigl(1+\tfrac12x^{2}-\tfrac18x^{4}+\tfrac1{16}x^{6}-\cdots\Bigr)+C_{2}\,x,
com a recorrência
a_{n+2}=-\frac{n-1}{n+2}\,a_{n}.

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