Questão 3 (3 pontos) 1,75
Resolva a equação diferencias dada (não use transformadas de Laplace)
y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=x+e^{-x}
Resolva a equação diferencias dada (não use transformadas de Laplace)
y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=x+e^{-x}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem
sem usar transformadas de Laplace. Vamos usar o método da soma da solução geral da homogênea com uma solução particular obtida por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a homogênea
A equação característica é
cuja raiz
tem multiplicidade 2 e
tem multiplicidade 1. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para o termo não homogêneo
. Fazemos isso em duas partes:
- Para o termo polinomial
(grau 1): como é raiz dupla, multiplicamos a forma usual por . O palpite é
- Para o termo exponencial
: como é raiz simples, multiplicamos o palpite usual por . O palpite é
Então
Passo 4
Determinamos
e
usando apenas
. Calculamos
Logo
Esse resultado deve igualar ao termo polinomial da força, isto é,
. Assim
Passo 5
Determinamos
usando apenas
. Calculamos
Então
Como isso deve igualar ao termo
, temos
Passo 6
Reunindo tudo, a solução particular é
Portanto, a solução geral da equação é