Questão 3 (3 pontos) 1,75
Resolva a equação diferencias dada (não use transformadas de Laplace)
y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=x+e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem
y''' + y'' = x + e^{-x}
sem usar transformadas de Laplace. Vamos usar o método da soma da solução geral da homogênea com uma solução particular obtida por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea
y''' + y'' = 0.
A equação característica é
r^3 + r^2 = r^2(r+1)=0,
cuja raiz r=0 tem multiplicidade 2 e r=-1 tem multiplicidade 1. Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 + C_2\,x + C_3\,e^{-x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para o termo não homogêneo x + e^{-x}. Fazemos isso em duas partes:
  1. Para o termo polinomial x (grau 1): como r=0 é raiz dupla, multiplicamos a forma usual p x + q por x^2. O palpite é
y_{p1} = A\,x^3 + B\,x^2.
  1. Para o termo exponencial e^{-x}: como r=-1 é raiz simples, multiplicamos o palpite usual D e^{-x} por x. O palpite é
y_{p2} = C\,x\,e^{-x}.
Então
y_p = y_{p1} + y_{p2} = A\,x^3 + B\,x^2 + C\,x\,e^{-x}.

Passo 4

Determinamos A e B usando apenas y_{p1}. Calculamos
y_{p1}' = 3A\,x^2 + 2B\,x,\quad y_{p1}'' = 6A\,x + 2B,\quad y_{p1}''' = 6A.
Logo
y_{p1}''' + y_{p1}'' = 6A + (6A\,x + 2B) = 6A\,x + (6A + 2B).
Esse resultado deve igualar ao termo polinomial da força, isto é, x. Assim
6A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac16,
6A + 2B = 0 \quad\Longrightarrow\quad 1 + 2B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = -\tfrac12.

Passo 5

Determinamos C usando apenas y_{p2}. Calculamos
y_{p2}' = C\,(1 - x)\,e^{-x},\quad y_{p2}'' = C\,(x-2)\,e^{-x},\quad y_{p2}''' = C\,(3 - x)\,e^{-x}.
Então
y_{p2}''' + y_{p2}'' = C\bigl[(3 - x)+(x-2)\bigr]e^{-x} = C\cdot e^{-x}.
Como isso deve igualar ao termo e^{-x}, temos
C = 1.

Passo 6

Reunindo tudo, a solução particular é
y_p = \tfrac16\,x^3 - \tfrac12\,x^2 + x\,e^{-x}.
Portanto, a solução geral da equação é
y(x) = y_h + y_p = C_1 + C_2\,x + C_3\,e^{-x} + \tfrac16\,x^3 - \tfrac12\,x^2 + x\,e^{-x}.

Resposta

\boxed{y(x) = C_1 + C_2\,x + C_3\,e^{-x} + \tfrac16\,x^3 - \tfrac12\,x^2 + x\,e^{-x}.}

Exercícios relacionados