Classifique as bases abaixo, duas a duas, em concordantes ou discordantes:
(1) i, j, k
(2) 2 i-j-k, i+k, i
(3) i-k, i-j+k, j+k
(4) j, i+j-k,-i+j

Passo 1

O enunciado pede para comparar orientação de quatro bases em ℝ³, dizendo se são concordantes (mesma orientação) ou discordantes (orientações opostas). O conteúdo usado é o cálculo de determinante de matrizes cujas colunas são os vetores de cada base, pois o sinal do determinante indica a orientação.

Passo 2

A base (1) é a canônica i,j,k. A matriz associada é a identidade, logo
det1&0&00&1&00&0&1=1
O sinal é positivo.

Passo 3

Para a base (2) 2i-j-k,,i+k,,i, montamos a matriz cujas colunas são as coordenadas desses vetores na base canônica:
B2=2&1&1-1&0&0-1&1&0
Calculamos
det(B2)=2cdotdet0&01&0-1cdotdet-1&0-1&0+1cdotdet-1&01&1=-1
Então o sinal é negativo.

Passo 4

Para a base (3) i-k,,i-j+k,,j+k, a matriz é
B3=1&1&00&-1&1-1&1&1
O determinante é
det(B3)=1cdot(-1cdot1-1cdot1)-1cdot(0cdot1-1cdot(-1))= -2 -1 = -3,
negativo.

Passo 5

Para a base (4) j,,i+j-k,,-i+j, a matriz é
B4=0&1&-11&1&10&-1&0
O determinante dá
det(B4)=0 -1cdot0 +(-1)cdot(1cdot(-1)-1cdot0)=1,
positivo.

Passo 6

Do sinal dos determinantes temos:
  • Base (1): +
  • Base (2): –
  • Base (3): –
  • Base (4): +
    Comparando pares:
  • (1),(2): + vs – → discordantes
  • (1),(3): + vs – → discordantes
  • (1),(4): + vs + → concordantes
  • (2),(3): – vs – → concordantes
  • (2),(4): – vs + → discordantes
  • (3),(4): – vs + → discordantes

Resposta

(1) e (2): discordantes; (1) e (3): discordantes; (1) e (4): concordantes; (2) e (3): concordantes; (2) e (4): discordantes; (3) e (4): discordantes.

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