Mostre que u=proji u+projj u+projk u para qualquer vetor u. Mostre também que projv u= projlambda v u para qualquer lambda neq 0.

Passo 1

Resumindo, precisamos provar duas coisas: (1) que qualquer vetor u em R^3 se decompõe como soma das projeções sobre os vetores canônicos i,j,k e (2) que a projeção de u sobre v é a mesma que sobre lambdav para todo lambdaneq0. Vamos usar produto escalar e definição de projeção ortogonal.

Passo 2

A definição de projeção de u sobre um vetor não nulo v é dada por:
projvu = ucdotvvcdotv,v
Essa fórmula será usada em ambos os itens.

Passo 3

No caso dos vetores canônicos i,j,k temos que são unitários e ortogonais, ou seja icdoti=jcdotj=kcdotk=1 e icdotj=icdotk=jcdotk=0. Então
projiu = (ucdoti),i = u1,i,
projju = (ucdotj),j = u2,j,
projku = (ucdotk),k = u3,k
Somando estas projeções obtemos
u1i + u2j + u3k = u,
que é exatamente a decomposição de u em coordenadas.

Passo 4

Para mostrar que projvu = projlambdavu basta aplicar a definição:

$$
\operatorname{proj}_{\lambda\vec{v}}\vec{u}

\frac{\vec{u}\cdot(\lambda\vec{v})}{(\lambda\vec{v})\cdot(\lambda\vec{v})},(\lambda\vec{v})

\frac{\lambda(\vec{u}\cdot\vec{v})}{\lambda^2(\vec{v}\cdot\vec{v})},(\lambda\vec{v})

\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}},\vec{v}

\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}.
$$
Logo, a projeção independe da escala de projlambdavu = ucdot(lambdav)(lambdav)cdot(lambdav),(lambdav) = lambda(ucdotv)lambda^2(vcdotv),(lambdav) = ucdotvvcdotv,v = projvu quando v.

Resposta

Concluímos que u = projiu + projju + projku e que projvu = projlambdavu para todo lambdaneq0.

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