Mostre que
para qualquer vetor
. Mostre também que
para qualquer
.
Passo 1
Resumindo, precisamos provar duas coisas: (1) que qualquer vetor
em
se decompõe como soma das projeções sobre os vetores canônicos
e (2) que a projeção de
sobre
é a mesma que sobre
para todo
. Vamos usar produto escalar e definição de projeção ortogonal.
Passo 2
A definição de projeção de
sobre um vetor não nulo
é dada por:
Essa fórmula será usada em ambos os itens.
Passo 3
No caso dos vetores canônicos
temos que são unitários e ortogonais, ou seja
e
. Então
Somando estas projeções obtemos
que é exatamente a decomposição de
em coordenadas.
Passo 4
Para mostrar que
basta aplicar a definição:
$$
\operatorname{proj}_{\lambda\vec{v}}\vec{u}
\frac{\vec{u}\cdot(\lambda\vec{v})}{(\lambda\vec{v})\cdot(\lambda\vec{v})},(\lambda\vec{v})
\frac{\lambda(\vec{u}\cdot\vec{v})}{\lambda^2(\vec{v}\cdot\vec{v})},(\lambda\vec{v})
\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}},\vec{v}
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}.
$$
Logo, a projeção independe da escala de
quando
.
Resposta
Concluímos que
e que
para todo
.