Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados:
os vértices
, e as assíntotas
;
os vértices
Passo 1
O enunciado pede a equação reduzida de uma hipérbole, cujos vértices são $(\pm5,0)$ e assíntotas dadas por $,2y=\pm x$, isto é, $,y=\pm\tfrac12x$. O conteúdo envolve hipérbole centralizada na origem e a relação entre seus parâmetros e as retas assíntotas.
Passo 2
Como os vértices estão em $(\pm5,0)$, a hipérbole é horizontal e centrada na origem. Sua forma padrão é $$
\frac{x2}{a2}-\frac{y2}{b2}=1
$$e vemos que $,a=5$, pois os vértices são $(\pm a,0)$.
\frac{x2}{a2}-\frac{y2}{b2}=1
$$e vemos que $,a=5$, pois os vértices são $(\pm a,0)$.
Passo 3
Sabendo que as assíntotas de uma hipérbole horizontal têm equações $,y=\pm\frac{b}{a}x$ e aqui o declive é $,\tfrac12$, igualamos
e substituímos $,a=5$ para achar
e então
Passo 4
Bastapreencher na forma padrão com $,a^2=25$ e $,b^2=25/4$. A equação reduzida fica: $$
\frac{x2}{25}-\frac{y2}{25/4}=1
$$.
\frac{x2}{25}-\frac{y2}{25/4}=1
$$.
Resposta
\frac{x2}{25}-\frac{y2}{25/4}=1