Classifique cada afirmação abaixo como Verdadeiro ou Falso, justificando a sua resposta.
é um subespaço de
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
é um subespaço de . O conteúdo aqui é o critério de subespaço vetorial: precisamos verificar se
contém o vetor zero, se é fechado sob soma de vetores e sob multiplicação por escalar.
é um subespaço de
Passo 2
Lembrando a definição: um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se, e somente se, satisfaz três propriedades:
- O vetor zero pertence a
. - Para quaisquer
, tem-se . - Para qualquer
e escalar , tem-se .
Passo 3
Verificamos a propriedade do vetor zero. O vetor zero de
é
.
Calculamos
Calculamos
logo
. Portanto,
já falha na condição de conter o zero.
Passo 4
Como
não contém o zero, ele não pode ser subespaço. Podemos notar ainda que, por exemplo,
e
mas
onde
, ou seja, nem a soma de vetores em
permanece em
.
Passo 5
Concluímos que
não satisfaz as propriedades necessárias (nem contém o zero, nem é fechado em soma ou multiplicação por escalar), logo não é subespaço de
.
Resposta
Falso.