Classifique cada afirmação abaixo como Verdadeiro ou Falso, justificando a sua resposta.
V=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x+y=1\right\} é um subespaço de \mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
\displaystyle V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x+y=1\}
é um subespaço de \mathbb{R}^2. O conteúdo aqui é o critério de subespaço vetorial: precisamos verificar se V contém o vetor zero, se é fechado sob soma de vetores e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Lembrando a definição: um subconjunto W de um espaço vetorial é subespaço se, e somente se, satisfaz três propriedades:
  1. O vetor zero pertence a W.
  2. Para quaisquer u,v\in W, tem-se u+v\in W.
  3. Para qualquer u\in W e escalar \alpha\in\mathbb{R}, tem-se \alpha u\in W.

Passo 3

Verificamos a propriedade do vetor zero. O vetor zero de \mathbb{R}^2 é (0,0).
Calculamos
0+0=0\neq1,
logo (0,0)\notin V. Portanto, V já falha na condição de conter o zero.

Passo 4

Como V não contém o zero, ele não pode ser subespaço. Podemos notar ainda que, por exemplo, (1,0)\in V e (0,1)\in V mas
(1,0)+(0,1)=(1,1),
onde 1+1=2\neq1, ou seja, nem a soma de vetores em V permanece em V.

Passo 5

Concluímos que V não satisfaz as propriedades necessárias (nem contém o zero, nem é fechado em soma ou multiplicação por escalar), logo não é subespaço de \mathbb{R}^2.

Resposta

Falso.

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