Classifique cada afirmação abaixo como Verdadeiro ou Falso, justificando a sua resposta.
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x-y+2 z=0\right\} é um subespaço de \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado define
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x - y + 2z = 0\}
e pergunta se W é um subespaço de \mathbb{R}^3. Para isso precisamos usar o conceito de subespaço vetorial, que exige:
  1. W contém o vetor zero;
  2. W é fechado sob adição;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Substituindo:
0 - 0 + 2\cdot0 = 0,
logo (0,0,0)\in W.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob adição. Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)\in W e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2)\in W. Então
(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) + 2(z_1 + z_2) = (x_1 - y_1 + 2z_1) + (x_2 - y_2 + 2z_2) = 0 + 0 = 0,
portanto \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação por escalar. Seja \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Então
\lambda x_1 - \lambda y_1 + 2(\lambda z_1) = \lambda\,(x_1 - y_1 + 2z_1) = \lambda\cdot0 = 0,
logo \lambda\mathbf{u}\in W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço de \mathbb{R}^3.

Resposta

Verdadeiro.

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