Considere V o subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}), definido por:
V=\left\{\left[\begin{array}{cc} x+y & x-y+z \\\ x-y+z & z+y \end{array}\right]: x, y, z \in \mathbb{R}\right\}
Classifique cada afirmação abaixo como Verdadeiro ou Falso, justificando a sua resposta.
\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right] \in V

Passo 1

O enunciado define
V = \left\{ \begin{pmatrix} x+y & x-y+z\\[6pt] x-y+z & z+y \end{pmatrix} : x,y,z\in\mathbb{R} \right\}
e pergunta se \displaystyle A = \begin{pmatrix}2 & 1\\[3pt]1 & 2\end{pmatrix}
pertence a V. Para isso, vamos buscar x,y,z que reproduzam A.]

Passo 2

Igualamos as entradas de A ao formato genérico de V:
x+y = 2,\quad x - y + z = 1,\quad z + y = 2.

Passo 3

Da primeira equação vem
x = 2 - y.
Substituindo na segunda:
(2-y)-y+z = 1 \;\Longrightarrow\; 2 - 2y + z = 1 \;\Longrightarrow\; z = 2y - 1.
Na terceira equação temos
y + z = 2 \;\Longrightarrow\; y + (2y - 1) = 2 \;\Longrightarrow\; 3y - 1 = 2 \;\Longrightarrow\; y = 1.
Logo z = 2\cdot1 - 1 = 1 e x = 2 - 1 = 1.

Passo 4

Encontramos uma solução (x,y,z)=(1,1,1)\in\mathbb{R}^3. Portanto
\begin{pmatrix}2 & 1\\[3pt]1 & 2\end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} 1+1 & 1-1+1\\[3pt] 1-1+1 & 1+1 \end{pmatrix} \;\in V.]

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados