Considere V o subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}), definido por:
V=\left\{\left[\begin{array}{cc} x+y & x-y+z \\\ x-y+z & z+y \end{array}\right]: x, y, z \in \mathbb{R}\right\}
Classifique cada afirmação abaixo como Verdadeiro ou Falso, justificando a sua resposta.
\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right] \in V

Passo 1

O subespaço V\subseteq M_{2}(\mathbb{R}) é dado por:
V = \left\{\begin{pmatrix} x+y & x-y+z\\\ x-y+z & z+y \end{pmatrix}: x,y,z\in\mathbb{R}\right\}.
Para verificar se
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix}
pertence a V, buscamos x,y,z tais que as entradas coincidam.

Passo 2

Igualando cada entrada de A à forma genérica de V, obtemos o sistema
\begin{cases} x+y = 1,\\\ x - y + z = 1,\\\ x - y + z = -1,\\\ z + y = 0. \end{cases}

Passo 3

As segunda e terceira equações exigem simultaneamente
x - y + z = 1 \quad\text{e}\quad x - y + z = -1,
o que é impossível. Portanto não existe tripla (x,y,z) que gere A, logo A\notin V.

Resposta

Falso

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