Considere a aplicação T: R^2 longrightarrow R^2, definida por T(x, y)=(x+3 y, x+4 y).
a) ( 1,0 ponto) Mostre que T é linear e que é un isomorfismo.
b) ( 1,0 ponto) Determine T^-1(x, y).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (,x+3y,;x+4y,)
é uma transformação linear e um isomorfismo, e em seguida determinar sua inversa T^-1. Vamos usar definição de linearidade, representação matricial e cálculo de determinante para a invertibilidade, além de resolver o sistema para achar T^-1.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, tomemos (x1,y1),(x2,y2)inR^2 e escalares alpha,betainR. Então
Tl(alpha(x1,y1)+beta(x2,y2)r) =Tl(alpha x1+beta x2,;alpha y1+beta y2r)
=l(alpha x1+beta x2+3(alpha y1+beta y2),;alpha x1+beta x2+4(alpha y1+beta y2)r)
=alpha(x1+3y1,;x1+4y1)+beta(x2+3y2,;x2+4y2) =alpha,T(x1,y1)+beta,T(x2,y2)
Logo, T é linear.

Passo 3

Representamos pela matriz em base canônica:
pois . Calculamos o determinante:
Como , a aplicação é inversível, logo é um isomorfismo.

Passo 4

Para achar T^-1, seja (u,v)=T(x,y), isto é
u = x + 3y, v = x + 4y
Subtraindo as duas igualdades,
v - u = (x+4y) - (x+3y) = y,
logo
y = v - u
Substituindo em u = x + 3y,
x = u - 3y = u - 3(v - u) = 4u - 3v
Portanto
T^-1(u,v) = l(4u - 3v,;v - ur)

Resposta

A) T é linear porque preserva combinação linear, e é isomorfismo pois det A=1neq0.
B)
T^-1(x,y) = (,4x - 3y,;y - x,)

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