Considere a aplicação , definida por .
a) ( 1,0 ponto) Mostre que é linear e que é un isomorfismo.
b) ( 1,0 ponto) Determine .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação
é uma transformação linear e um isomorfismo, e em seguida determinar sua inversa . Vamos usar definição de linearidade, representação matricial e cálculo de determinante para a invertibilidade, além de resolver o sistema para achar .
Passo 2
Para mostrar que é linear, tomemos e escalares . Então
Logo, é linear.
Passo 3
Representamos pela matriz em base canônica:
pois . Calculamos o determinante:
Como , a aplicação é inversível, logo é um isomorfismo.
Passo 4
Para achar T^-1, seja (u,v)=T(x,y), isto é
u = x + 3y, v = x + 4y
Subtraindo as duas igualdades,
v - u = (x+4y) - (x+3y) = y,
logo
y = v - u
Substituindo em u = x + 3y,
x = u - 3y = u - 3(v - u) = 4u - 3v
Portanto
T^-1(u,v) = l(4u - 3v,;v - ur)
Resposta
A) T é linear porque preserva combinação linear, e é isomorfismo pois det A=1neq0.
B)