Classifique cada afirmação abaixo como Verdadeiro ou Falso, justificando a sua resposta.
é um subespaço de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma afirmação sobre um conjunto
no espaço tridimensional
. O objetivo é dizer se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos falar sobre subespaços vetoriais, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. Precisamos entender o que define um subespaço e verificar se
cumpre esses critérios.
Passo 2
Primeiro, o que é um subespaço vetorial? Basicamente, um subespaço dentro de
é um conjunto de vetores que satisfaz três condições principais:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o vetor resultante também deve estar no conjunto.
Passo 3
Vamos analisar o conjunto
. Esse conjunto é definido por uma equação linear homogênea, ou seja, igual a zero. Isso já é um bom sinal, porque conjuntos definidos por equações homogêneas costumam ser subespaços. Mas vamos verificar as três condições mencionadas.
Passo 4
1. Contém o vetor zero:
Substituindo ,
e
na equação:
Substituindo
Então, o vetor zero está em
.
2. Fechado sob adição:
Se e
estão em
, então:
Se
Somando as duas equações:
Isso significa que
também está em
.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se está em
, então para qualquer escalar
:
Se
Portanto,
também está em
.
Resposta
A afirmação é Verdadeira. O conjunto
é um subespaço de
porque satisfaz todas as condições necessárias: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.