Classifique cada afirmação abaixo como Verdadeiro ou Falso, justificando a sua resposta.
() W=(x, y, z) in R^3: x-2 y+z=0 é um subespaço de R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma afirmação sobre um conjunto W no espaço tridimensional R^3 . O objetivo é dizer se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos falar sobre subespaços vetoriais, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. Precisamos entender o que define um subespaço e verificar se W cumpre esses critérios.

Passo 2

Primeiro, o que é um subespaço vetorial? Basicamente, um subespaço dentro de R^3 é um conjunto de vetores que satisfaz três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0, 0) deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o vetor resultante também deve estar no conjunto.

Passo 3

Vamos analisar o conjunto W = (x, y, z) in R^3 : x - 2y + z = 0 . Esse conjunto é definido por uma equação linear homogênea, ou seja, igual a zero. Isso já é um bom sinal, porque conjuntos definidos por equações homogêneas costumam ser subespaços. Mas vamos verificar as três condições mencionadas.

Passo 4

1. Contém o vetor zero:
Substituindo x = 0 , y = 0 e z = 0 na equação:
0 - 2 cdot 0 + 0 = 0
Então, o vetor zero está em W .
2. Fechado sob adição:
Se u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) estão em W , então:
x1 - 2y1 + z1 = 0 x2 - 2y2 + z2 = 0
Somando as duas equações:
(x1 + x2) - 2(y1 + y2) + (z1 + z2) = 0
Isso significa que u + v também está em W .
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se u = (x, y, z) está em W , então para qualquer escalar k :
k cdot x - 2(k cdot y) + k cdot z = k(x - 2y + z) = k cdot 0 = 0
Portanto, ku também está em W .

Resposta

A afirmação é Verdadeira. O conjunto W é um subespaço de R^3 porque satisfaz todas as condições necessárias: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

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