Usando a fórmula de De Moivre, calcule a potência:
(1+\sqrt{3} i)^{4}-8-8 \sqrt{3} i

Passo 1

O enunciado pede para calcular
(1+\sqrt{3}\,i)^{4}-8-8\sqrt{3}\,i
usando a fórmula de De Moivre.
Vamos então escrever 1+\sqrt{3}\,i em forma polar e aplicar
\bigl(r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr)^{n} = r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).

Passo 2

Calcular módulo e argumento de 1+\sqrt{3}\,i:
o módulo é
r = \sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1+3} = 2,
e o argumento é
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{1}\bigr) = \tfrac{\pi}{3}.
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1+\sqrt{3}\,i = 2\bigl(\cos\tfrac{\pi}{3} + i\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr).

Passo 3

Aplicar De Moivre para a quarta potência:
\bigl(2(\cos\tfrac{\pi}{3}+i\sin\tfrac{\pi}{3})\bigr)^{4} = 2^{4}\bigl(\cos\tfrac{4\pi}{3}+i\sin\tfrac{4\pi}{3}\bigr) = 16\Bigl(-\tfrac12 - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = -8 \;-\; 8\sqrt{3}\,i.

Passo 4

Subtrair 8 + 8\sqrt{3}\,i:
(1+\sqrt{3}\,i)^{4} - 8 -8\sqrt{3}\,i = \bigl(-8 -8\sqrt{3}\,i\bigr) - 8 -8\sqrt{3}\,i = -16 \;-\; 16\sqrt{3}\,i.

Resposta

-16 - 16\sqrt{3}\,i

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