Sabendo que z_{1}=2\left(\cos 30^{\circ}+i \cdot \operatorname{sen} 30^{\circ}\right) e z_{2}=3\left(\cos 150^{\circ}+i \cdot \operatorname{sen} 150^{\circ}\right), determine:
z_{1} z_{2}

Passo 1

O enunciado nos dá dois números complexos em forma polar:
z_{1}=2\bigl(\cos 30^{\circ}+i\sin 30^{\circ}\bigr), \quad z_{2}=3\bigl(\cos 150^{\circ}+i\sin 150^{\circ}\bigr).
O conteúdo é multiplicação de números complexos em forma polar e vamos usar a propriedade de que, ao multiplicar, os módulos se multiplicam e os argumentos se somam.

Passo 2

Calculamos o módulo de z_{1}z_{2}. Como \lvert z_{1}\rvert=2 e \lvert z_{2}\rvert=3, temos
\lvert z_{1}z_{2}\rvert = \lvert z_{1}\rvert\cdot\lvert z_{2}\rvert = 2\cdot 3 =6.

Passo 3

Calculamos o argumento de z_{1}z_{2}. Como \arg(z_{1})=30^{\circ} e \arg(z_{2})=150^{\circ}, obtemos
\arg(z_{1}z_{2}) = 30^{\circ}+150^{\circ} =180^{\circ}.

Passo 4

Escrevemos z_{1}z_{2} em forma polar usando módulo 6 e argumento 180^{\circ}:
z_{1}z_{2} =6\bigl(\cos 180^{\circ}+i\sin 180^{\circ}\bigr).
Como \cos 180^{\circ}=-1 e \sin 180^{\circ}=0, segue que
z_{1}z_{2} =6(-1+i\cdot 0) =-6.

Resposta

-6

Exercícios relacionados