Considere a matriz M=(cccc1 & 2 & -1 & 2 0 & 0 & lambda & -1 0 & 1 & 2 & 0 1 & 2 & 0 & 1).
Determine o valor lambda para a matriz M seja invertível.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M= 1 & 2 & -1 & 2 0 & 0 & lambda & -1 0 & 1 & 2 & 0 1 & 2 & 0 & 1
e pergunta para quais lambda ela é invertível. Lembrando que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero, vamos calcular det(M) em função de lambda.

Passo 2

Para simplificar o cálculo, fazemos a operação de linha
R4 ;long<=ftarrow; R4 - R1,
ficando
1 & 2 & -1 & 2 0 & 0 & lambda & -1 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & -1

Passo 3

Expandindo o determinante pela primeira coluna, só o elemento 1 da primeira linha contribui, logo
det(M) =1cdot detl(Ar),
onde A é a submatriz 3times3 formada pelas linhas 2,3,4 e colunas 2,3,4:
A = 0 & lambda & -1 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1

Passo 4

Calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =0cdotl(2cdot(-1)-0cdot1r) -lambdacdotl(1cdot(-1)-0cdot0r) +(-1)cdotl(1cdot1-2cdot0r) =lambda - 1
Portanto det(M)=lambda-1.

Passo 5

A matriz M é invertível se det(M)neq0, ou seja,
lambda - 1 neq 0 Longrightarrow lambda neq 1

Resposta

lambda neq 1

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