Determine os lados de um retângulo, sabendo que seu perímetro mede 350 cm e que a razão entre sua altura e sua base é 2 / 5.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os lados de um retângulo (ou seja, sua base e sua altura). As informações dadas são:
  • O perímetro do retângulo é 350\\ \text{cm}.
  • A razão entre a altura e a base é \dfrac{2}{5}, isto é, a altura é para a base como 2 é para 5.
Não vou resolver nada neste passo; só organizei o que o problema solicita e os dados que temos.

Passo 2

Vamos definir variáveis para trabalhar com símbolos (isso facilita na prova e evita erro de interpretação):
  • Seja b a base do retângulo, medida em centímetros.
  • Seja h a altura do retângulo, medida em centímetros.
Agora todas as quantidades estarão expressas em termos de b e h.

Passo 3

A informação da razão entre altura e base diz que
\frac{h}{b}=\frac{2}{5}.
Isto significa literalmente que a altura é \dfrac{2}{5} da base, portanto podemos escrever
h=\frac{2}{5}b.
Explicação curta: dizer que h:b=2:5 é a mesma coisa que \dfrac{h}{b}=\dfrac{2}{5}; para “isolar” h multiplicamos ambos os lados por b.

Passo 4

A fórmula do perímetro P de um retângulo é
P=2(b+h),
porque o perímetro soma os quatro lados e há duas bases e duas alturas. Como o enunciado dá P=350\\ \text{cm}, temos a equação
2(b+h)=350\\ \text{cm}.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 2 para simplificar, obtemos
b+h=175\\ \text{cm}.
Aqui usei a propriedade básica de igualdade: se 2X=350 então X=175.

Passo 6

Agora substituímos a expressão de h obtida no Passo 3 em b+h=175. Substituição:
b+\frac{2}{5}b=175.
Somamos os termos semelhantes (são ambos múltiplos de b):
\left(1+\frac{2}{5}\right)b=\frac{7}{5}b=175.
Para isolar b multiplicamos ambos os lados pela recíproca de \dfrac{7}{5}, que é \dfrac{5}{7}:
b=175\cdot\frac{5}{7}.
Calcule passo a passo: primeiro 175\div 7=25, depois 25\cdot 5=125. Assim
b=125\\ \text{cm}.

Passo 7

Com b encontrado, voltamos à relação h=\dfrac{2}{5}b para achar h:
h=\frac{2}{5}\cdot 125.
Calcule: 125\div 5=25 e 25\cdot 2=50. Portanto
h=50\\ \text{cm}.

Passo 8

Fazendo uma checagem rápida para garantir que não houve erro:
  • Perímetro: 2(b+h)=2(125+50)=2\cdot 175=350\\ \text{cm}, bate com o dado.
  • Razão: \dfrac{h}{b}=\dfrac{50}{125}=\dfrac{2}{5}, bate com o dado.
    Tudo consistente — ótimo trabalho! Você conseguiu acompanhar as substituições e as operações passo a passo.

Resposta

Base =125\\ \text{cm}
Altura =50\\ \text{cm}

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