Classifique cada equação diferencial a seguir quanto ao tipo(ordinária ou parcial),à ordem e à linearidade(linear ou não linear):
(a) x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\ln (x) \frac{d y}{d x}+y=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \ln(x)\frac{dy}{dx} + y = e^{x}
quanto ao tipo (ordinária ou parcial), à ordem e à linearidade. Vamos usar os conceitos de equação diferencial ordinária versus parcial, identificar a maior derivada para achar a ordem e verificar se a dependência em y e suas derivadas é linear.

Passo 2

Tipo: observamos que há derivadas de y em relação a uma única variável x (não aparecem derivadas parciais nem mais de uma variável independente). Logo, é uma equação diferencial ordinária.

Passo 3

Ordem: o maior índice de derivada que aparece é \frac{d^{2}y}{dx^{2}}, ou seja, segunda derivada. Portanto, é de segunda ordem.

Passo 4

Linearidade: a equação é da forma
a_{2}(x)\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x)\,\frac{dy}{dx} + a_{0}(x)\,y = g(x),
com
a_{2}(x)=x^{2},\quad a_{1}(x)=\ln(x),\quad a_{0}(x)=1,\quad g(x)=e^{x}.
Como y, \frac{dy}{dx} e \frac{d^{2}y}{dx^{2}} aparecem apenas em grau 1 e não há produtos ou funções não lineares de y, a equação é linear.

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária
Ordem: segunda ordem
Linearidade: linear

Exercícios relacionados