Encontre a solução geral das equações diferenciais ordinárias abaixo:
(a) \left(y \cos (x)+2 x e^{y}\right)+\left(\sin (x)+x^{2} e^{y}-1\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
\bigl(y\cos(x)+2x e^y\bigr) \;+\;\bigl(\sin(x)+x^2 e^y -1\bigr)\,y'=0.
Aqui o conteúdo é EDO exata; vamos verificar exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial \Psi(x,y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=y\cos(x)+2x e^y, \quad N(x,y)=\sin(x)+x^2 e^y-1.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =\cos(x)+2x e^y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\cos(x)+2x e^y,
logo \partial M/\partial y=\partial N/\partial x e a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M. Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y) =\int\bigl(y\cos(x)+2x e^y\bigr)\,dx =y\sin(x)+x^2 e^y+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo \Psi_y=N, temos
\Psi_y =\sin(x)+x^2 e^y+h'(y) \;\stackrel!=\; \sin(x)+x^2 e^y-1,
o que dá h'(y)=-1 e, portanto, h(y)=-y (qualquer constante é absorvida em C).

Passo 5

A função potencial fica
\Psi(x,y)=y\sin(x)+x^2 e^y -y,
e a solução geral implícita é
y\sin(x)+x^2 e^y -y = C.

Resposta

y\sin(x) + x^2 e^y - y = C.

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