Encontre a solução geral das equações diferenciais ordinárias abaixo:
(a) \left(y \cos (x)+2 x e^{y}\right)+\left(\sin (x)+x^{2} e^{y}-1\right) y^{\prime}=0
(a) \left(y \cos (x)+2 x e^{y}\right)+\left(\sin (x)+x^{2} e^{y}-1\right) y^{\prime}=0
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
Aqui o conteúdo é EDO exata; vamos verificar exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
logo
e a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Impondo
, temos
o que dá
e, portanto,
(qualquer constante é absorvida em
).
Passo 5
A função potencial fica
e a solução geral implícita é