Encontre a solução geral das equações diferenciais ordinárias abaixo:
(b) 2 y^{2}+\frac{2 y}{x}+\left(2 x y+2+\frac{y}{x}\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
2y^{2}+\frac{2y}{x}+\Bigl(2xy+2+\frac{y}{x}\Bigr)y'=0.
O conteúdo principal aqui é transformar a EDO na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
encontrar um fator integrante \mu(x) que dependa só de x para torná-la exata, e então achar a função potencial \varphi(x,y).

Passo 2

Escrevendo em forma diferencial temos
2y^{2}\,dx+\frac{2y}{x}\,dx+\Bigl(2xy+2+\frac{y}{x}\Bigr)dy=0.
Observamos que multiplicando tudo por \mu(x)=x eliminamos os denominadores e obtemos
M_{1}(x,y)\,dx+N_{1}(x,y)\,dy=0
com
M_{1}(x,y)=2x\,y^{2}+2y,\quad N_{1}(x,y)=2x^{2}y+2x+y.

Passo 3

Verificamos a exatidão:
\frac{\partial M_{1}}{\partial y} =4xy+2, \qquad \frac{\partial N_{1}}{\partial x} =4xy+2,
logo a forma é exata.

Passo 4

Como é exata, existe \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M_{1}=2x\,y^{2}+2y.
Integramos em x:
\varphi(x,y)=\int(2x\,y^{2}+2y)\,dx =x^{2}y^{2}+2xy+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Calculamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =2x^{2}y+2x+h'(y)
e igualamos a N_{1}=2x^{2}y+2x+y. Assim
h'(y)=y \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\frac{y^{2}}{2}.
Portanto a solução implícita é
\varphi(x,y)=x^{2}y^{2}+2xy+\frac{y^{2}}{2}=C,
com C constante.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x^{2}y^{2}+2xy+\frac{y^{2}}{2}=C.

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