Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
(1+x^2) d y+2 x y d x=3 x^2 d x

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
(1+x^2),dy + 2x,y,dx = 3x^2,dx
É uma equação de primeira ordem linear em y(x). Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão dividindo por dx e por 1+x^2:
dydx + 2x1+x^2,y = 3x^21+x^2

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral 2x1+x^2,dxr) = expl(ln(1+x^2)r) = 1+x^2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x), obtemos
(1+x^2)dydx + 2x,y = 3x^2,
cujo lado esquerdo é exatamente
ddxl((1+x^2),yr)

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
ddxl((1+x^2),yr) = 3x^2
(1+x^2),y = integral 3x^2,dx = x^3 + C

Passo 6

Isolando y, concluímos
y = x^3 + C1+x^2

Resposta

y = x^3 + C1+x^2

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