Classifique cada equação diferencial segundo a ordem, o grau (quando possível) e a linearidade. Determinar a função incógnita e a variável independente.
e) y d^2 xd y^2=y^2+1

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
y,d^2xdy^2=y^2+1
e pede para classificá-la quanto à ordem, grau e linearidade, além de identificar a função incógnita e a variável independente. Aqui estamos na matéria de EDOs elementares e vamos usar as definições padrão de ordem, grau e linearidade.

Passo 2

A variável independente é y, pois todas as derivadas são em relação a y. A função incógnita é x, que aparece como x(y).

Passo 3

A ordem da equação é o maior número de derivadas de x que aparece. Como só temos dfracd^2xdy^2, a ordem é 2.

Passo 4

O grau da equação é o expoente da maior derivada quando a EDO pode ser escrita como um polinômio nessa derivada. Aqui temos dfracd^2xdy^2 elevado a 1 e não há raízes nem frações envolvendo a derivada, logo o grau é 1.

Passo 5

Para verificar a linearidade, reescrevemos a EDO em forma padrão:
y,x''-(y^2+1)=0
Não aparecem termos como (x'')^2, x,x' ou funções não lineares de x e suas derivadas. Assim, a equação é linear de segunda ordem. Como o termo não homogêneo y^2+1 não é zero, trata-se de uma EDO linear não homogênea.

Resposta

Ordem: 2
Grau: 1
Linearidade: linear não homogênea
Função incógnita: x(y)
Variável independente: y

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