Determinar uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas.
d yd x-yx=x^2+3 ; y(1)=3

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
dydx-1x,y = x^2+3
com condição inicial y(1)=3. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a forma padrão
dydx+P(x),y = Q(x),
onde aqui P(x)=-tfrac1x e Q(x)=x^2+3. O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral -tfrac1x,dxr) = exp(-ln|x|) = 1x

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=tfrac1x, temos
1xdydx-1x^2y = x^2+3x = x + 3x
O lado esquerdo é a derivada do produto ddxl(ycdottfrac1xr). Logo,
ddxl(yxr) = x + 3x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
yx = integrall(x + 3xr),dx = x^22 + 3ln|x| + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por x, obtemos a solução geral
y(x) = xl(x^22 + 3ln|x| + Cr) = x^32 + 3xln|x| + Cx

Passo 5

Usamos a condição inicial y(1)=3:
y(1) = 1^32 + 3cdot1cdotln1 + Ccdot1 = 12 + 0 + C = 3 Longrightarrow C = 3 - 12 = 52

Resposta

A solução particular que satisfaz y(1)=3 é
y(x) = x^32 + 3xln|x| + 52,x

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