Determinar uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas.
d yd x-3 y=e^2 x ; y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de primeira ordem
dydx - 3y = e^2x
com a condição inicial y(0)=2. Vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

O fator integrante é
mu(x) = e^integral -3,dx = e^-3x
Multiplicando a equação original por mu(x), obtemos
e^-3xdydx -3e^-3xy = e^2xe^-3x Longrightarrow ddxl(y,e^-3xr) = e^-x
Integrando ambos os lados:
y,e^-3x = integral e^-x,dx = -e^-x + C

Passo 3

Isolando y,
y = l(-e^-x + Cr)e^3x = -e^2x + C,e^3x

Passo 4

Usando a condição inicial y(0)=2:
y(0) = -e^0 + C,e^0 = -1 + C = 2 Longrightarrow C = 3

Resposta

y(x) = -e^2x + 3,e^3x

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